20. Решите уравнение \(\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0.\)

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение. Для удобства введём замену переменной.

1. Пусть \( y = \frac{1}{x-2} \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - y - 6 = 0 \).
2. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
3. Найдём корни уравнения: \[ y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \] \[ y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \]
4. Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \).
5. Случай 1: \( y_1 = 3 \).
\[ \frac{1}{x-2} = 3 \] \( 1 = 3(x-2) \) \( 1 = 3x - 6 \) \( 3x = 7 \) \( x = \frac{7}{3} \)
6. Случай 2: \( y_2 = -2 \).
\[ \frac{1}{x-2} = -2 \] \( 1 = -2(x-2) \) \( 1 = -2x + 4 \) \( 2x = 3 \) \( x = \frac{3}{2} \)
7. Важно проверить, что знаменатель \( x-2 \) не равен нулю. Для \( x = \frac{7}{3} \) имеем \( \frac{7}{3} - 2 = \frac{1}{3} \neq 0 \). Для \( x = \frac{3}{2} \) имеем \( \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2} \neq 0 \).

Ответ: x = 7/3, x = 3/2.