20. Решите уравнение: \( \frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} - 10 = 0 \).

Решение:

1. Обозначим \( y = \frac{1}{x} \). Тогда \( y^2 = \frac{1}{x^2} \).
2. Подставим \( y \) в уравнение: \( y^2 + 3y - 10 = 0 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение для \( y \) с помощью дискриминанта:
• \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \)
• \( y_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
• \( y_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)
4. Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив найденные значения \( y \):
• Случай 1: \( y_1 = 2 \)
• \( \frac{1}{x} = 2 \)
• \( x = \frac{1}{2} \)
• Случай 2: \( y_2 = -5 \)
• \( \frac{1}{x} = -5 \)
• \( x = -\frac{1}{5} \)
5. Проверим, что \( x \) не равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Оба корня \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = -\frac{1}{5} \) не равны нулю.

Ответ: \( x = \frac{1}{2}; x = -\frac{1}{5} \).