20. Решите уравнение х⁴ = (3x-70)².

Решение:

Уравнение имеет вид \( a^2 = b^2 \), что эквивалентно \( a = b \) или \( a = -b \).

В нашем случае \( a = x^2 \) и \( b = 3x - 70 \).

1. Случай 1: \( x^2 = 3x - 70 \)
2. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 3x + 70 = 0 \).
3. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 70 = 9 - 280 = -271 \).
4. Так как \( D < 0 \), это квадратное уравнение не имеет действительных корней.
5. Случай 2: \( x^2 = -(3x - 70) \)
6. Раскроем скобки: \( x^2 = -3x + 70 \).
7. Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 + 3x - 70 = 0 \).
8. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 \).
9. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
10. Найдём корни по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-3 + 17}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 17}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \]

Ответ: 7; -10.