20. Решите уравнение \(\sqrt{4x^2-1}+\sqrt{2x^2+7x+3}=0\).

Решение:

Для того чтобы сумма двух квадратных корней была равна нулю, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были равны нулю одновременно.

1. Приравняем первое подкоренное выражение к нулю: \(\sqrt{4x^2-1}=0\) \(\Rightarrow\) \(4x^2-1=0\) \(\Rightarrow\) \(4x^2=1\) \(\Rightarrow\) \(x^2 = \frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(x = \pm\frac{1}{2}\).
2. Приравняем второе подкоренное выражение к нулю: \(\sqrt{2x^2+7x+3}=0\) \(\Rightarrow\) \(2x^2+7x+3=0\).
3. Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2+7x+3=0\) с помощью дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25\). \(\sqrt{D} = 5\).
4. Найдём корни: \(x_1 = \frac{-7+5}{2\cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\). \(x_2 = \frac{-7-5}{2\cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3\).
5. Сравним корни из обоих уравнений. Общим корнем является \(x = -\frac{1}{2}\).

Ответ: x = -1/2.