20. Решите уравнение (x - 1)(x² + 8x + 16) = 6(x + 4).

Решение:

1. Заметим, что \( x^2 + 8x + 16 \) является полным квадратом: \( (x + 4)^2 \).
2. Уравнение принимает вид: \( (x - 1)(x + 4)^2 = 6(x + 4) \).
3. Перенесём всё в левую часть: \( (x - 1)(x + 4)^2 - 6(x + 4) = 0 \).
4. Вынесем общий множитель \( (x + 4) \): \( (x + 4) [ (x - 1)(x + 4) - 6 ] = 0 \).
5. Раскроем скобки во второй части: \( (x + 4) [ x^2 + 4x - x - 4 - 6 ] = 0 \).
6. Упростим выражение в квадратных скобках: \( (x + 4) [ x^2 + 3x - 10 ] = 0 \).
7. Теперь разложим квадратный трёхчлен \( x^2 + 3x - 10 \) на множители. Для этого найдём его корни: \( x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} \).
8. Корни квадратного трёхчлена: \( x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \).
9. Таким образом, \( x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5) \).
10. Исходное уравнение примет вид: \( (x + 4)(x - 2)(x + 5) = 0 \).
11. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
12. Приравниваем каждый множитель к нулю:
• \( x + 4 = 0 \) => \( x = -4 \)
• \( x - 2 = 0 \) => \( x = 2 \)
• \( x + 5 = 0 \) => \( x = -5 \)

Ответ: x = -4, x = 2, x = -5.