20. Решите уравнение \(|(x-2)(5x-1)| + \sqrt{5x^3+24x^2-1} = 0\).

Решение:

Данное уравнение состоит из двух слагаемых: абсолютного значения произведения \((x-2)(5x-1)\) и квадратного корня \(\sqrt{5x^3+24x^2-1}\). Сумма этих двух неотрицательных выражений равна нулю. Это возможно только в случае, когда оба выражения равны нулю одновременно.

1. Приравняем первое выражение к нулю: \(|(x-2)(5x-1)| = 0\). Это означает, что \((x-2)(5x-1) = 0\). Корнями этого уравнения являются \(x=2\) и \(x=1/5\).
2. Приравняем второе выражение к нулю: \(\sqrt{5x^3+24x^2-1} = 0\). Возведём обе части в квадрат: \(5x^3+24x^2-1 = 0\).
3. Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни \(x=2\) и \(x=1/5\) второму уравнению \(5x^3+24x^2-1 = 0\).
• Подставим \(x=2\): \(5(2)^3 + 24(2)^2 - 1 = 5(8) + 24(4) - 1 = 40 + 96 - 1 = 135 ≠ 0\). Следовательно, \(x=2\) не является корнем уравнения.
• Подставим \(x=1/5\): \(5(1/5)^3 + 24(1/5)^2 - 1 = 5(1/125) + 24(1/25) - 1 = 1/25 + 24/25 - 1 = 25/25 - 1 = 1 - 1 = 0\). Следовательно, \(x=1/5\) является корнем уравнения.
4. Таким образом, единственным решением уравнения является \(x=1/5\).

Ответ: x = 1/5.