20. Решите уравнение \( (x-3)^4 - 3(x-3)^2 - 10 = 0 \)

Решение:

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = (x-3)^2 \). Тогда исходное уравнение примет вид:

\( y^2 - 3y - 10 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \).

Корни квадратного уравнения:

\( y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

\( y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).

Теперь вернемся к замене \( y = (x-3)^2 \).

Случай 1: \( y = 5 \)

\( (x-3)^2 = 5 \)

\( x-3 = \pm\sqrt{5} \)

\( x = 3 \pm\sqrt{5} \).

Случай 2: \( y = -2 \)

\( (x-3)^2 = -2 \)

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Следовательно, действительными корнями исходного уравнения являются \( x = 3+\sqrt{5} \) и \( x = 3-\sqrt{5} \).

Ответ: \( 3+\sqrt{5}; 3-\sqrt{5} \).