20. Решите уравнение (x²-4)² + (x²-6x-16)² = 0.

Задание 20. Решение уравнения

У нас есть уравнение, сумма квадратов двух выражений равна нулю:

\[ (x^2 - 4)^2 + (x^2 - 6x - 16)^2 = 0 \]

Сумма квадратов двух чисел (или выражений) равна нулю тогда и только тогда, когда оба эти числа (или выражения) равны нулю одновременно.

Значит, нам нужно решить систему из двух уравнений:

1. \[ x^2 - 4 = 0 \]
2. \[ x^2 - 6x - 16 = 0 \]

Решаем первое уравнение:

\[ x^2 - 4 = 0 \]

\[ x^2 = 4 \]

Отсюда получаем два возможных значения для \( x \):

\[ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \]

Решаем второе уравнение:

\[ x^2 - 6x - 16 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-16) = 36 + 64 = 100 \]

Так как \( D > 0 \), у уравнения два корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{6 \pm 10}{2} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

\[ x_2 = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь нам нужно найти такие значения \( x \), которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Сравниваем корни первого и второго уравнений:

• Корни первого уравнения: \( 2, -2 \)
• Корни второго уравнения: \( 8, -2 \)

Общим корнем для обоих уравнений является \( x = -2 \).

Ответ: -2