20. Середина боковой стороны трапеции равноудалена от двух противоположных от неё вершин. Докажите, что трапеция прямоугольная.

Это утверждение в приведённом виде неверно: условие не гарантирует, что трапеция прямоугольная.

Контрпример: возьмём вершины трапеции \(A(0,0)\), \(B(3,0)\), \(D(2,2)\), \(C(3,2)\). Основания \(AB\) и \(DC\) параллельны. Середина боковой стороны \(AD\) — точка \(M(1,1)\). Расстояния до двух противоположных вершин равны:

\[MB=\sqrt{(3-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt5,\qquad MC=\sqrt{(3-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt5.\]

При этом боковая сторона \(AD\) не перпендикулярна основаниям, как и \(BC\), поэтому трапеция не является прямоугольной.

Ответ: доказать требуемое нельзя — при данных в условии утверждение неверно.