Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Сначала разложим каждый квадратный трёхчлен на множители:
- Для \( x^2 - 2x - 15 \): найдём корни уравнения \( x^2 - 2x - 15 = 0 \). По теореме Виета, \( x_1 + x_2 = 2 \) и \( x_1 x_2 = -15 \). Корни: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -3 \). Значит, \( x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3) \).
- Для \( x^2 - 7x + 10 \): найдём корни уравнения \( x^2 - 7x + 10 = 0 \). По теореме Виета, \( x_1 + x_2 = 7 \) и \( x_1 x_2 = 10 \). Корни: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = 2 \). Значит, \( x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2) \).
Теперь неравенство примет вид:
\( (x - 5)(x + 3)(x - 5)(x - 2) ≤ 0 \)
\( (x - 5)^2 (x + 3)(x - 2) ≤ 0 \)
Рассмотрим знаки множителей на интервалах, учитывая, что \( (x - 5)^2 ≥ 0 \) всегда:
- Интервал \( (-∞, -3] \): \( (x - 5)^2 > 0 \), \( x + 3 ≤ 0 \), \( x - 2 < 0 \). Произведение \( (+)(-) (-) > 0 \).
- Интервал \( [-3, 2] \): \( (x - 5)^2 > 0 \), \( x + 3 ≥ 0 \), \( x - 2 ≤ 0 \). Произведение \( (+)(+) (-) ≤ 0 \).
- Интервал \( [2, 5) \): \( (x - 5)^2 > 0 \), \( x + 3 > 0 \), \( x - 2 ≥ 0 \). Произведение \( (+)(+) (+) > 0 \).
- Интервал \( (5, +∞) \): \( (x - 5)^2 > 0 \), \( x + 3 > 0 \), \( x - 2 > 0 \). Произведение \( (+)(+) (+) > 0 \).
Учтём, что \( x=5 \) является корнем кратности 2, поэтому знак не меняется при переходе через 5, и \( (x-5)^2 ≥ 0 \). Решение будет там, где \( (x+3)(x-2) ≤ 0 \), при учёте \( x ≠ 5 \).
Для \( (x+3)(x-2) ≤ 0 \) решение: \( x ∈ [-3, 2] \).
Так как \( x=5 \) — корень, то \( (x-5)^2 \) равен нулю при \( x=5 \). Таким образом, \( x=5 \) также входит в решение.
Объединяя интервалы и точки, получаем:
\( x ∈ [-3, 2] ∪ \{5\}
