20. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями. 1. Представьте в виде степени произведение: 1) а) c⁷·c⁴; б) a·a²; в) x³·x⁴; г) 2³·2⁴; 2) а) b·b²·b³; б) x⁶·x²·x⁷; в) (−7)³·(−7)²·(−7)⁴. 2. Представьте в виде степени частное: 1) а) x⁸:x⁴; б) a¹⁰:a⁹; в) c⁵:c; г) a⁶:a⁵; 2) а) 2¹⁴:2⁸; б) (0,1)²⁰:(0,1)⁶; в) (−0,5)¹⁰:(−0,5)⁴. 3. Замените знак * степенью с основанием a так, чтобы стало верным равенство: 1) a³·*=a¹⁰; 2) *·a=a²; 3) a¹²:* =a⁶; 4) *:a³=a⁵. 4. Используя правила умножения и деления степеней, упростите выражение: 1) x²·x⁸:x; 2) x⁵·x²:x²; 3) x¹⁵:x⁵·x; 4) x¹⁰:x⁶·x⁴. 5. Найдите значение выражения: 1) (10¹⁵·10⁷)/10¹⁹; 2) 7⁸/(7·7⁵); 3) ((−3)⁵·(−3)³)/(−3)⁷; 4) ((0,2)⁸·(0,2)²)/((0,2)⁴·(0,2)³). 6. Сравните с нулём значение выражения: 1) (−11)⁹·(−11)⁸; 2) (−6)⁴·(−6)¹⁰; 3) (−14)²⁵:(−14)⁸. 7. Представьте в виде степени выражение: 1) aᵐ·a⁴; 2) bⁿ·b²ⁿ; 3) yⁿ:y³; 4) y¹⁰:yᵐ; 5) c·cⁿ; 6) cⁿ:c. 8. Упростите выражение: 1) а) x¹⁰:(x¹⁰:x⁵); б) x¹⁸·(x⁹:x⁷); в) x⁶:(x·x⁵); 2) а) (x⁴·x³):(x³·x²); б) (x¹⁶:x⁸):x⁴·x². 9. Сравните с нулём значение выражения: 1) −(−8)³·(−8)¹¹; 2) (−6)¹²·6⁴. 10. Представьте данное выражение сначала в виде произведения степеней, а затем в виде частного степеней: 1) xⁿ⁺⁶; 2) a³ⁿ; 3) yⁿ.

1. Используем правило: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

1) а) \(c^7\cdot c^4=c^{7+4}=c^{11}\); б) \(a\cdot a^2=a^{1+2}=a^3\); в) \(x^3\cdot x^4=x^7\); г) \(2^3\cdot2^4=2^7\).

2) а) \(b\cdot b^2\cdot b^3=b^{1+2+3}=b^6\); б) \(x^6\cdot x^2\cdot x^7=x^{15}\); в) \((-7)^3\cdot(-7)^2\cdot(-7)^4=(-7)^9\).

2. При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитаются.

1) а) \(x^8:x^4=x^4\); б) \(a^{10}:a^9=a\); в) \(c^5:c=c^4\); г) \(a^6:a^5=a\).

2) а) \(2^{14}:2^8=2^6\); б) \((0{,}1)^{20}:(0{,}1)^6=(0{,}1)^{14}\); в) \((-0{,}5)^{10}:(-0{,}5)^4=(-0{,}5)^6\).

3. Сравниваем показатели степеней с одинаковым основанием.

1) \(*=a^7\), поскольку \(a^3\cdot a^7=a^{10}\).

2) \(*=a\), поскольку \(a\cdot a=a^2\).

3) \(*=a^6\), поскольку \(a^{12}:a^6=a^6\).

4) \(*=a^8\), поскольку \(a^8:a^3=a^5\).

4.

1) \(x^2\cdot x^8:x=x^{2+8-1}=x^9\).

2) \(x^5\cdot x^2:x^2=x^{5+2-2}=x^5\).

3) \(x^{15}:x^5\cdot x=x^{15-5+1}=x^{11}\).

4) \(x^{10}:x^6\cdot x^4=x^{10-6+4}=x^8\).

5.

1) \((10^{15}\cdot10^7):10^{19}=10^{15+7-19}=10^3=1000\).

2) \(7^8:(7\cdot7^5)=7^{8-1-5}=7^2=49\).

3) \(((-3)^5\cdot(-3)^3):(-3)^7=(-3)^{5+3-7}=-3\).

4) \(((0{,}2)^8\cdot(0{,}2)^2):((0{,}2)^4\cdot(0{,}2)^3)=(0{,}2)^{8+2-4-3}=0{,}2\).

6. Знак степени отрицательного числа определяется чётностью показателя; при делении знаки числителя и знаменателя учитываются вместе.

1) \((-11)^9\cdot(-11)^8\) — отрицательное: произведение отрицательного числа и положительного.

2) \((-6)^4\cdot(-6)^{10}\) — положительное: оба множителя положительны.

3) \((-14)^{25}:(-14)^8\) — отрицательное: отрицательное число делится на положительное.

7.

1) \(a^m\cdot a^4=a^{m+4}\); 2) \(b^n\cdot b^{2n}=b^{3n}\); 3) \(y^n:y^3=y^{n-3}\); 4) \(y^{10}:y^m=y^{10-m}\); 5) \(c\cdot c^n=c^{n+1}\); 6) \(c^n:c=c^{n-1}\).

8.

1) а) \(x^{10}:(x^{10}:x^5)=x^{10}:x^5=x^5\).

б) \(x^{18}\cdot(x^9:x^7)=x^{18}\cdot x^2=x^{20}\).

в) \(x^6:(x\cdot x^5)=x^6:x^6=1\).

2) а) \((x^4\cdot x^3):(x^3\cdot x^2)=x^7:x^5=x^2\).

б) \((x^{16}:x^8):x^4\cdot x^2=x^8:x^4\cdot x^2=x^6\).

9.

1) \(-(-8)^3\cdot(-8)^{11}\) — положительное: произведение двух отрицательных степеней положительно, перед ним стоит минус? Поскольку \((-8)^3\cdot(-8)^{11}=(-8)^{14}>0\), всё выражение равно отрицательному числу.

2) \((-6)^{12}\cdot6^4\) — положительное: обе степени положительны.

10. Можно разложить показатель на сумму для произведения степеней и на разность для частного.

1) \(x^{n+6}=x^n\cdot x^6=x^{n+7}:x\).

2) \(a^{3n}=a^n\cdot a^n\cdot a^n=a^{3n+1}:a\).

3) \(y^n=y^k\cdot y^{n-k}=y^{n+1}:y\), где \(k\) — любое целое число (например, \(k=1\)); соответственно, \(y^n=y\cdot y^{n-1}=y^{n+1}:y\).