20. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ, на ней отметили точку К. Докажите, треугольники АКМ и СКМ равны.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) с основанием \( AC \) проведена медиана \( BM \). Медиана \( BM \) является также высотой и биссектрисой.

По условию \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \). Это означает, что \( AB = BC \).

\( BM \) — медиана, следовательно, \( AM = MC \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle AKM \) и \( \triangle CKM \).

У нас есть:

• \( AM = MC \) (по определению медианы);
• \( \angle AMK = \angle CMK \) (так как \( BM \) — биссектриса, а в равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой);
• \( KM \) — общая сторона для обоих треугольников.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) \( \triangle AKM = \triangle CKM \).

Следовательно, треугольники \( AKM \) и \( CKM \) равны.