20. В равнобедренной трапеции основания равны 5 и 11, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S = \frac{a+b}{2} \times h \).

Дано: основания \( a = 5 \) и \( b = 11 \), угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \).

Чтобы найти площадь, нужно определить высоту \( h \).

Опустим высоты из концов меньшего основания на большее. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника.

Разность оснований равна \( 11 - 5 = 6 \). Эта разность делится пополам между двумя треугольниками, поэтому основание каждого треугольника равно \( \frac{6}{2} = 3 \).

В прямоугольном треугольнике один катет — это высота \( h \), другой катет — \( 3 \), а угол против высоты равен \( 45^{\circ} \).

Так как угол равен \( 45^{\circ} \), то противолежащий катет (высота \( h \)) равен прилежащему катету (основанию треугольника).

Значит, \( h = 3 \).

Теперь вычислим площадь трапеции:

\( S = \frac{5+11}{2} \times 3 = \frac{16}{2} \times 3 = 8 \times 3 = 24 \)

Ответ: 24