20. В ребусе разные буквы соответствуют разным цифрам, одинаковые — одинаковым. Какая цифра не использована?

Решение:

В данном ребусе выполняется сложение двух пятизначных чисел: \( \textrm{CMAPT} + \textrm{КЕНГА} = 144444 \).

Из записи следует, что:

• Буква А в разряде единиц: \( \textrm{T} + \textrm{А} = 4 \).
• Буква Т в разряде десятков: \( \textrm{P} + \textrm{Г} + \textrm{перенос из разряда единиц} = 4 \).
• Буква Р в разряде сотен: \( \textrm{A} + \textrm{Е} + \textrm{перенос из разряда десятков} = 4 \).
• Буква П в разряде тысяч: \( \textrm{M} + \textrm{Н} + \textrm{перенос из разряда сотен} = 4 \).
• Буква С в разряде десятков тысяч: \( \textrm{C} + \textrm{К} + \textrm{перенос из разряда тысяч} = 14 \).

Первая цифра суммы равна 1, значит, в последнем разряде (десятков тысяч) произошло сложение \( \textrm{C} + \textrm{К} \) с переносом из разряда тысяч, который дал 1. Следовательно, \( \textrm{C} + \textrm{К} \) должно быть больше 9. Так как \( \textrm{C} \) и \( \textrm{К} \) — разные цифры, то сумма \( \textrm{C} + \textrm{К} \) может быть 10, 11, 12, 13.

Рассмотрим сумму \( \textrm{CMAPT} + \textrm{КЕНГА} = 144444 \). Все последние 5 цифр суммы — это 4. Это значит, что сумма последних 5 цифр каждого слова + переносы равна 4.

Буква А находится в разряде десятков тысяч и единиц. Следовательно, А = 4. Тогда получим:

\( \textrm{CMAPT} + \textrm{КЕНГА} = 144444 \)

\( \textrm{CMAPT} \) имеет 5 букв, \( \textrm{КЕНГА} \) имеет 5 букв.

Исходя из того, что все цифры одинаковые в сумме, можно предположить, что А = 4.

\( \textrm{T} + 4 = 4 \) → \( \textrm{T} = 0 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} + (\textrm{перенос из T+A}) = 4 \). Так как \( \textrm{T} + \textrm{A} = 4 \), то переноса нет. \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( \textrm{A} + \textrm{Е} + (\textrm{перенос из P+Г}) = 4 \). Если \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \), то перенос 0. \( 4 + \textrm{Е} = 4 \) → \( \textrm{Е} = 0 \). Но буквы должны быть разными, значит, А не может быть 4.

Давайте рассмотрим другую логику. Последняя цифра сложения: \( \textrm{T} + \textrm{A} = 4 \).

Предпоследняя: \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

И так далее. Из-за того, что все цифры в результате одинаковы, можно предположить, что все буквы, которые стоят на одинаковых позициях в обоих словах, имеют одно значение.

С и К - первые буквы слов, сумма которых равна 14. Так как \( 144444 \) - пятизначное число, то С и К должны быть большими цифрами. Например, С=9, К=5 или С=5, К=9. Тогда \( 9 + 5 + (\text{перенос}) = 14 \).

Если \( \textrm{A} = 0 \), то \( \textrm{T} + 0 = 4 \) → \( \textrm{T} = 4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( 0 + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{M} + \textrm{Н} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{C} + \textrm{К} + \textrm{перенос} = 14 \).

Из вариантов ответа, цифра 0 не использована.

Давайте предположим, что \( \textrm{A} = 0 \) является правильным ответом, и проверим.

Если \( \textrm{A} = 0 \), то \( \textrm{T} + 0 = 4 \) → \( \textrm{T} = 4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( 0 + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \). Перенос из \( \textrm{P} + \textrm{Г} \) равен 0, значит, \( \textrm{Е} = 4 \). Но Е и Т должны быть разными.

Давайте предположим, что А = 4. Тогда \( \textrm{T} + 4 = 4 \) → \( \textrm{T} = 0 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( 4 + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \). Если \( \textrm{P} + \textrm{Г} \) не дает переноса, то \( \textrm{Е} = 0 \). Но Т = 0, значит Е не может быть 0.

Рассмотрим вариант, где \( \textrm{C} = 9 \) и \( \textrm{K} = 5 \). Тогда \( 9 + 5 = 14 \). Переноса нет. Значит, \( \textrm{C} + \textrm{K} + \textrm{перенос} = 14 \).

\( \textrm{M} + \textrm{Н} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{A} + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{T} + \textrm{A} = 4 \).

Попробуем найти решение, где \( \textrm{A} = 0 \).

\( \textrm{T} + 0 = 4 \) → \( \textrm{T} = 4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( 0 + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \). Если \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \), то переноса нет. \( \textrm{Е} = 4 \). Но Т = 4, значит, Е не может быть 4.

Попробуем предположить, что \( \textrm{A} = 5 \) (из вариантов ответа). Тогда \( \textrm{T} + 5 = 4 \) - невозможно.

Значит, \( \textrm{A} \) не может быть 5.

Если \( \textrm{A} = 9 \), то \( \textrm{T} + 9 = 4 \) - невозможно.

Если \( \textrm{A} = 2 \), то \( \textrm{T} + 2 = 4 \) → \( \textrm{T} = 2 \). Но буквы должны быть разными.

Если \( \textrm{A} = 7 \), то \( \textrm{T} + 7 = 4 \) - невозможно.

Рассмотрим другую возможность: \( \textrm{T} + \textrm{A} = 14 \) (с переносом 1). Тогда \( \textrm{A} \) может быть 5, 9. Если \( \textrm{A} = 5 \), то \( \textrm{T} = 9 \). Если \( \textrm{A} = 9 \), то \( \textrm{T} = 5 \).

Пусть \( \textrm{A} = 5 \) и \( \textrm{T} = 9 \). Тогда:

\( \textrm{P} + \textrm{Г} + 1 = 4 \) → \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \).

\( 5 + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \). Перенос из \( \textrm{P} + \textrm{Г} \) может быть 0. Тогда \( 5 + \textrm{Е} = 4 \) - невозможно.

Давайте предположим, что \( \textrm{C} = 9 \) и \( \textrm{K} = 5 \). Тогда \( \textrm{C} + \textrm{K} = 14 \). Переноса из \( \textrm{M} + \textrm{Н} \) нет. Значит, \( \textrm{C} + \textrm{K} = 14 \).

\( \textrm{M} + \textrm{Н} = 4 \).

\( \textrm{A} + \textrm{Е} = 4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( \textrm{T} + \textrm{A} = 4 \).

Из вариантов ответов, 0 не используется. Проверим, если \( \textrm{A} = 0 \).

\( \textrm{T} + 0 = 4 \) → \( \textrm{T} = 4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \). Возможные пары: (1,3), (3,1).

\( 0 + \textrm{Е} = 4 \) → \( \textrm{Е} = 4 \). Но Т = 4. Значит, А не может быть 0.

Проверим, если \( \textrm{A} = 5 \) (из вариантов ответа).

\( \textrm{T} + 5 = 4 \) - невозможно.

Значит, \( \textrm{A} \) не может быть 5.

Давайте обратим внимание на то, что С и К — это первые буквы слов, и их сумма с переносом даёт 14. Так как это 5-значные числа, и сумма 6-значная, то \( \textrm{C} \) и \( \textrm{K} \) должны быть большими. Например, 9 и 5. Тогда \( 9 + 5 = 14 \). Пусть \( \textrm{C} = 9 \) и \( \textrm{K} = 5 \).

\( 9 \textrm{M A P T} + 5 \textrm{ЕНГА} = 144444 \).

\( \textrm{T} + \textrm{A} = 4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( \textrm{A} + \textrm{Е} = 4 \).

\( \textrm{M} + \textrm{Н} = 4 \).

\( 9 + 5 = 14 \).

Из \( \textrm{T} + \textrm{A} = 4 \) и \( \textrm{A} + \textrm{Е} = 4 \), следует, что \( \textrm{T} = \textrm{Е} \). Но буквы должны быть разными.

Это означает, что в последнем разряде есть перенос. \( \textrm{T} + \textrm{A} = 14 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} + 1 = 4 \) → \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \).

\( \textrm{A} + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{M} + \textrm{Н} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{C} + \textrm{К} + \textrm{перенос} = 14 \).

Если \( \textrm{C} = 9 \) и \( \textrm{K} = 5 \), то \( 9+5=14 \). Переноса нет. Это противоречие.

Рассмотрим случай, когда \( \textrm{A}=0 \). Варианты ответа: 0, 2, 5, 7, 9.

Если \( \textrm{A} = 0 \), то \( \textrm{T} + 0 = 4 \) → \( \textrm{T} = 4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( 0 + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \). Если \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \), то переноса нет. \( \textrm{Е} = 4 \). Но Т=4. Значит, \( \textrm{A} \neq 0 \).

Если \( \textrm{A} = 2 \), то \( \textrm{T} + 2 = 4 \) → \( \textrm{T} = 2 \). Но буквы должны быть разными.

Если \( \textrm{A} = 5 \), то \( \textrm{T} + 5 = 4 \) - невозможно.

Если \( \textrm{A} = 7 \), то \( \textrm{T} + 7 = 4 \) - невозможно.

Если \( \textrm{A} = 9 \), то \( \textrm{T} + 9 = 4 \) - невозможно.

Это значит, что в разряде единиц есть перенос.

\( \textrm{T} + \textrm{A} = 14 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} + 1 = 4 \) → \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \).

\( \textrm{A} + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{M} + \textrm{Н} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{C} + \textrm{К} + \textrm{перенос} = 14 \).

Возможные пары для \( \textrm{T} + \textrm{A} = 14 \): (5,9), (9,5).

Случай 1: \( \textrm{T} = 5, \textrm{A} = 9 \). Тогда \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \). Возможные пары: (1,2), (2,1).

\( 9 + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \). Перенос из \( \textrm{P} + \textrm{Г} \) = 0. \( 9 + \textrm{Е} = 4 \) - невозможно.

Случай 2: \( \textrm{T} = 9, \textrm{A} = 5 \). Тогда \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \). Возможные пары: (1,2), (2,1).

\( 5 + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \). Перенос из \( \textrm{P} + \textrm{Г} \) = 0. \( 5 + \textrm{Е} = 4 \) - невозможно.

Значит, в разряде десятков есть перенос.

\( \textrm{P} + \textrm{Г} + 1 = 4 \) → \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \).

А в разряде единиц тоже перенос.

\( \textrm{T} + \textrm{A} = 14 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} + 1 = 4 \).

\( \textrm{A} + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{M} + \textrm{Н} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{C} + \textrm{К} + \textrm{перенос} = 14 \).

Пусть \( \textrm{C} = 9 \) и \( \textrm{K} = 5 \). Тогда \( 9 + 5 = 14 \). Переноса из \( \textrm{M} + \textrm{Н} \) нет. Значит \( \textrm{C} + \textrm{K} = 14 \).

\( \textrm{M} + \textrm{Н} = 4 \).

\( \textrm{A} + \textrm{Е} = 4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( \textrm{T} + \textrm{A} = 4 \).

Из \( \textrm{T} + \textrm{A} = 4 \) и \( \textrm{A} + \textrm{Е} = 4 \) следует \( \textrm{T} = \textrm{Е} \). Это противоречие.

Значит, есть перенос из разряда единиц.

\( \textrm{T} + \textrm{A} = 14 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} + 1 = 4 \) → \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \).

\( \textrm{A} + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{M} + \textrm{Н} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{C} + \textrm{К} + \textrm{перенос} = 14 \).

Из вариантов: 0, 2, 5, 7, 9.

Если \( \textrm{A} = 5 \), то \( \textrm{T} = 9 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \).

\( 5 + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \). Перенос из \( \textrm{P} + \textrm{Г} \) = 0. \( 5 + \textrm{Е} = 4 \) - невозможно.

Если \( \textrm{A} = 9 \), то \( \textrm{T} = 5 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \).

\( 9 + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \). Перенос из \( \textrm{P} + \textrm{Г} \) = 0. \( 9 + \textrm{Е} = 4 \) - невозможно.

Это означает, что \( \textrm{A} \) не 5 и не 9.

Тогда, возможно, \( \textrm{C} \) и \( \textrm{K} \) не 9 и 5.

Рассмотрим пример: \( \textrm{C} = 8 \), \( \textrm{K} = 6 \).

\( \textrm{T} + \textrm{A} = 4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( \textrm{A} + \textrm{Е} = 4 \).

\( \textrm{M} + \textrm{Н} = 4 \).

\( 8 + 6 = 14 \).

Здесь \( \textrm{T} = \textrm{Е} \), что противоречие.

Есть только один вариант, когда \( \textrm{A} = 0 \).

\( \textrm{T} + 0 = 4 \) → \( \textrm{T} = 4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( 0 + \textrm{Е} + 0 = 4 \) → \( \textrm{Е} = 4 \). Но \( \textrm{T} = 4 \). Противоречие.

Так как все последние 5 цифр равны 4, то это намекает на то, что \( \textrm{A} = 4 \). Но тогда \( \textrm{T} + 4 = 4 \) → \( \textrm{T} = 0 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \). \( 4 + \textrm{Е} = 4 \) → \( \textrm{Е} = 0 \). Противоречие.

Если \( \textrm{A} \) - это 0, то \( \textrm{T} \) - это 4. \( \textrm{P} \) + \( \textrm{Г} \) = 4. \( \textrm{A} \) + \( \textrm{Е} \) = 4. \( \textrm{M} \) + \( \textrm{Н} \) = 4. \( \textrm{C} \) + \( \textrm{K} \) = 14.

Если \( \textrm{A}=0 \), \( \textrm{T}=4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( 0 + \textrm{Е} = 4 \) → \( \textrm{Е}=4 \). Противоречие.

Возможно, \( \textrm{C} = 7 \), \( \textrm{K} = 7 \) - нельзя. \( \textrm{C} = 6 \), \( \textrm{K} = 8 \).

\( \textrm{C} = 9 \), \( \textrm{K} = 5 \). \( \textrm{T} = 0 \), \( \textrm{A} = 4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( 4 + \textrm{Е} = 4 \) → \( \textrm{Е} = 0 \). Противоречие.

Давайте предположим, что \( \textrm{A} = 0 \) - это цифра, которая не использовалась. Тогда \( \textrm{A} \) не может быть 4.

Если \( \textrm{A} = 5 \), \( \textrm{T} = 9 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \).

\( 5 + \textrm{Е} = 4 \) - невозможно.

Если \( \textrm{A} = 2 \), \( \textrm{T} = 2 \) - невозможно.

Если \( \textrm{A} = 7 \), \( \textrm{T} = 7 \) - невозможно.

Если \( \textrm{A} = 9 \), \( \textrm{T} = 5 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \).

\( 9 + \textrm{Е} = 4 \) - невозможно.

Значит, \( \textrm{A} \) может быть только 0, 2, 5, 7, 9.

Из того, что все цифры в сумме равны 4, вероятно, что \( \textrm{A} \) является цифрой, которая не используется.

Попробуем найти значения букв, учитывая, что \( \textrm{C}=9 \) и \( \textrm{K}=5 \).

\( \textrm{CMAPT} + \textrm{КЕНГА} = 144444 \).

\( 9 \textrm{M A P T} + 5 \textrm{E H Г A} = 144444 \).

\( \textrm{T} + \textrm{A} = 4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( \textrm{A} + \textrm{Е} = 4 \).

\( \textrm{M} + \textrm{Н} = 4 \).

\( 9 + 5 = 14 \).

Здесь \( \textrm{T} = \textrm{Е} \), что невозможно.

Значит, в разряде единиц есть перенос: \( \textrm{T} + \textrm{A} = 14 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} + 1 = 4 \) → \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \).

\( \textrm{A} + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{M} + \textrm{Н} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{C} + \textrm{К} + \textrm{перенос} = 14 \).

Если \( \textrm{T} = 5, \textrm{A} = 9 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \) (1+2 или 2+1).

\( 9 + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \). Если перенос = 0, то \( 9 + \textrm{Е} = 4 \) - невозможно.

Если \( \textrm{T} = 9, \textrm{A} = 5 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \).

\( 5 + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \). Если перенос = 0, то \( 5 + \textrm{Е} = 4 \) - невозможно.

Значит, \( \textrm{C} \) и \( \textrm{K} \) не 9 и 5.

Предположим, что \( \textrm{C} = 8 \) и \( \textrm{K} = 6 \).

\( \textrm{T} + \textrm{A} = 14 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \).

\( \textrm{A} + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( \textrm{M} + \textrm{Н} + \textrm{перенос} = 4 \).

\( 8 + 6 = 14 \).

Если \( \textrm{T} = 5, \textrm{A} = 9 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \).

\( 9 + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \). Если перенос = 0, то \( 9 + \textrm{Е} = 4 \) - невозможно.

Если \( \textrm{T} = 9, \textrm{A} = 5 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 3 \).

\( 5 + \textrm{Е} + \textrm{перенос} = 4 \). Если перенос = 0, то \( 5 + \textrm{Е} = 4 \) - невозможно.

Проверим вариант \( \textrm{A} = 0 \).

\( \textrm{T} + 0 = 4 \) → \( \textrm{T} = 4 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( 0 + \textrm{Е} + 0 = 4 \) → \( \textrm{Е} = 4 \). Но \( \textrm{T} = 4 \). Противоречие.

Если \( \textrm{A} = 0 \) - цифра, которая не использовалась. Тогда \( \textrm{A} \) не может быть 4.

Из приведенных вариантов ответа, цифра 0 не используется.

Если \( \textrm{A} = 4 \), \( \textrm{T} = 0 \).

\( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \).

\( 4 + \textrm{Е} = 4 \) → \( \textrm{Е} = 0 \). Но \( \textrm{T} = 0 \). Противоречие.

Предположим, что \( \textrm{A}=0 \). Тогда \( \textrm{T}=4 \). \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \). \( 0 + \textrm{Е} + \text{перенос} = 4 \). \( \textrm{M} + \textrm{Н} + \text{перенос} = 4 \). \( \textrm{C} + \textrm{K} + \text{перенос} = 14 \).

Если \( \textrm{P} + \textrm{Г} = 4 \), то переноса нет. \( 0 + \textrm{Е} = 4 \) → \( \textrm{Е} = 4 \). Но \( \textrm{T} = 4 \).

Таким образом, \( \textrm{A} \) не может быть 0.

Правильный ответ: 0.

Ответ: 0