202 4 В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Длина одной из них равна а. Точки пересечения делят каждую хорду на три части, средняя из которых в два раза больше в два раза меньше каждой из двух остальных частей. Найдите радиус окружности. 5 В выпуклом четырехугольнике прове- дены биссектрисы внутренних углов. внешних углов. Докажите, что точки пересечения пар соседних биссектрис являются верши- нами вписанного четырехугольника. Вариант А1 КА-5. ОКРУЖНОСТЬ Два угла треугольника рав- ны 60° и 80°. Найдите гра- дусные меры дуг, на кото- рые вершины данного тре- угольника делят описанную окружность. Радиус вписанной в рав- носторонний треугольник Вариант А2 0 Угол при вершине равно- бедренного треугольника ра- вен 100°. Найдите градусные меры дуг, на которые верши- ны данного треугольника де- лят описанную окружность. 2 Радиус описанной около рав- ностороннего треугольника Окружность окружности равен 2 см. Найдите периметр треуголь ника и радиус описанной ок- ружности. 3 Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Найдите ра- диус окружности, вписанной в ромб. Вариант Б1 0 В треугольник, углы которо- го относятся как 1:3:5, впи- сана окружность. Найдите углы между радиусами, про- веденными в точки касания. 2 В равнобедренный треуголь- ник с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности. окружности равен дите периметр э угольника и радиус ной окружности. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите радиус окружности, описан- ной около трапеции, если диагональ равна 12 см, а бо- 9 см. ковая сторона Сторона ромба равна одна из диагонале Найдите радиус вписанной в ромб Вариант Б 0 В треугольник ружность. Углы диусами окру веденными в т относятся как углы треуголь 2 В равнобедрен ник с боковой и периметро окружность этой окруж 3 Диагональ трапеции боковой диагонал радиус ности ра сторона

Задание 4 (окружность)

Дано:

• Три попарно пересекающиеся хорды.
• Длина одной хорды равна a.
• Точки пересечения делят эту хорду на три части: две крайние части равны между собой, а средняя часть в два раза больше крайних.

Найти: радиус окружности R.

Решение:

1. Пусть хорда AB разделена точками C и D на три части: AC = DB = x, а CD = 2x. Тогда длина хорды a = AC + CD + DB = x + 2x + x = 4x. Отсюда x = a/4.
2. Средняя часть хорды CD = 2x = 2(a/4) = a/2.
3. Пусть O - центр окружности, R - радиус. Проведем перпендикуляр OM к хорде AB. Точка M будет серединой хорды, если хорда является диаметром.
4. Рассмотрим хорду AB. Если точки C и D делят хорду на части a/4, a/2, a/4, то средняя часть (a/2) является диаметром, если она проходит через центр окружности.
5. Если средняя часть хорды (a/2) является диаметром, то радиус окружности равен половине этой части: R = (a/2) / 2 = a/4.
6. Проверим условие: две другие части хорды (a/4) равны радиусу, что соответствует случаю, когда эти части являются радиусами, проведенными к концам хорды, находящейся на расстоянии R от центра.

Ответ: Радиус окружности равен a/4.

Задание 5 (четырехугольник)

Доказательство:

1. Пусть дан выпуклый четырехугольник ABCD.
2. Проведем биссектрисы внутренних углов: AI, BI, CI, DI.
3. Рассмотрим треугольник ABM, где AM и BM - биссектрисы углов A и B соответственно. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
4. Сумма углов A и B равна 180° (так как они являются соседними внутренними углами параллелограмма, если ABCD - параллелограмм, или могут быть произвольными).
5. Углы MAB и MBA являются половинами углов A и B, так как AI и BI - биссектрисы.
6. Сумма углов MAB + MBA = (A/2) + (B/2) = (A+B)/2.
7. Если ABCD - четырехугольник, то сумма его углов равна 360°.
8. Углы в треугольнике ABM: ∠MAB + ∠MBA + ∠AMB = 180°
9. ∠AMB = 180° - (∠MAB + ∠MBA)
10. ∠AMB = 180° - (A/2 + B/2)
11. Пусть точки пересечения биссектрис соседних углов будут M, N, P, Q: M - пересечение биссектрис A и B, N - биссектрис B и C, P - биссектрис C и D, Q - биссектрис D и A.
12. Угол ∠AMB = 180° - (A/2 + B/2).
13. Угол ∠BNC = 180° - (B/2 + C/2).
14. Угол ∠CPD = 180° - (C/2 + D/2).
15. Угол ∠DQA = 180° - (D/2 + A/2).
16. Сумма углов четырехугольника MNPQ: ∠AMB + ∠BNC + ∠CPD + ∠DQA = (180° - (A/2 + B/2)) + (180° - (B/2 + C/2)) + (180° - (C/2 + D/2)) + (180° - (D/2 + A/2))
17. = 720° - (A + B + C + D)
18. Так как сумма углов четырехугольника ABCD равна 360°, то A + B + C + D = 360°
19. ∠AMB + ∠BNC + ∠CPD + ∠DQA = 720° - 360° = 360°
20. Таким образом, сумма углов четырехугольника MNPQ равна 360°, что подтверждает, что MNPQ является четырехугольником.
21. Теперь докажем, что он вписанный (т.е. сумма противоположных углов равна 180°).
22. Рассмотрим противоположные углы ∠AMB и ∠CPD.
23. ∠AMB + ∠CPD = (180° - (A/2 + B/2)) + (180° - (C/2 + D/2)) = 360° - (A/2 + B/2 + C/2 + D/2) = 360° - (A+B+C+D)/2 = 360° - 360°/2 = 360° - 180° = 180°
24. Аналогично, ∠BNC + ∠DQA = 180°
25. Следовательно, сумма противоположных углов четырехугольника MNPQ равна 180°, что означает, что он является вписанным в окружность.

Вывод: Точки пересечения соседних биссектрис углов четырехугольника образуют вписанный четырехугольник.