203. а) Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 9 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Окружность касается сторон AB, BC, AC в точках K, M, N соответственно. По условию, точка касания делит боковую сторону на отрезки 9 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию. Это означает, что AK = AN = 9, и KB = NC = 1.

Следовательно, длина боковой стороны AB = AC = AK + KB = 9 + 1 = 10.

Длина основания BC = BM + MC. Так как касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, то BM = BK = 1 и MC = NC = 1. Однако, это противоречит тому, что BC является основанием, так как K — точка касания на боковой стороне, а M — на основании. Точки касания на основании равнобедренного треугольника должны быть симметричны относительно высоты.

Из свойства касательных: AK = AN = 9, KB = BM = 1, NC = MC = 1. Следовательно, длина основания BC = BM + MC = 1 + 1 = 2.

Периметр треугольника P = AB + AC + BC = 10 + 10 + 2 = 22.

Ответ: 22