204. Решите уравнение, используя введение новой переменной: а) (x² + 4x)² − (x + 2)² = 416; б) (x² − 2x)² + (x − 1)² = 73; в) (x² + 6x)² − 4(x + 3)² = 156.

а) Введём новую переменную \(t=(x+2)^2\). Тогда \(x^2+4x=t-4\), и уравнение принимает вид:

\((t-4)^2-t=416\), откуда \(t^2-9t-400=0\).

\((t-25)(t+16)=0\), поэтому \(t=25\) или \(t=-16\). Так как \(t=(x+2)^2\geq0\), оставляем \(t=25\). Тогда \((x+2)^2=25\), следовательно, \(x=3\) или \(x=-7\).

б) Введём \(t=(x-1)^2\). Так как \(x^2-2x=t-1\), получаем:

\((t-1)^2+t=73\), то есть \(t^2-t-72=0\).

\((t-9)(t+8)=0\), значит, \(t=9\) или \(t=-8\). Учитывая \(t\geq0\), берём \(t=9\). Тогда \((x-1)^2=9\), откуда \(x=4\) или \(x=-2\).

в) Введём \(t=(x+3)^2\). Тогда \(x^2+6x=t-9\), и получаем:

\((t-9)^2-4t=156\), то есть \(t^2-22t-75=0\).

\((t-25)(t+3)=0\), поэтому \(t=25\) или \(t=-3\). Поскольку \(t\geq0\), остаётся \(t=25\). Тогда \((x+3)^2=25\), откуда \(x=2\) или \(x=-8\).

Ответ: а) \(x=-7,3\); б) \(x=-2,4\); в) \(x=-8,2\).