206. Сравните числа: а) $4\sqrt{14}$ и 15; б) $1+\sqrt{20}$ и $\sqrt{30}$; в) $\sqrt{17}-\sqrt{15}$ и $\sqrt{19}-\sqrt{17}$; г) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ и $\sqrt{3}-\sqrt{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 206. Сравните числа: а) $4\sqrt{14}$ и 15; б) $1+\sqrt{20}$ и $\sqrt{30}$; в) $\sqrt{17}-\sqrt{15}$ и…$ Фото задания

Accepted Answer

Оба числа положительны. Сравним квадраты: $(4\sqrt{14})^2=224<225=15^2$. Поэтому $4\sqrt{14}<15$.
$1+\sqrt{20}=1+2\sqrt{5}$. Так как оба числа положительны, сравним квадраты: $(1+2\sqrt{5})^2=21+4\sqrt{5}<30$, поскольку $4\sqrt{5}<9$. Поэтому $1+\sqrt{20}<\sqrt{30}$.
Рационализуем разности: $\sqrt{17}-\sqrt{15}=\frac{2}{\sqrt{17}+\sqrt{15}}$, а $\sqrt{19}-\sqrt{17}=\frac{2}{\sqrt{19}+\sqrt{17}}$. Первый знаменатель меньше второго, значит $\sqrt{17}-\sqrt{15}>\sqrt{19}-\sqrt{17}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$. Поэтому $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.

206. Сравните числа: а) \(4\sqrt{14}\) и 15; б) \(1+\sqrt{20}\) и \(\sqrt{30}\); в) \(\sqrt{17}-\sqrt{15}\) и \(\sqrt{19}-\sqrt{17}\); г) \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\) и \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\).