208. Какой объем раствора уксусной кислоты с концентрацией 1,98 моль/л (пл. 1,015 г/мл) был добавлен к 10,0 мл 40,2%-ного раствора того же вещества (пл. 1,05 г/мл), если при этом получился 27,2%-ный раствор (пл. 1,035 г/мл)?

Решение:

Обозначим:

• \( V_1 \) — объём первого раствора уксусной кислоты (моль/л).
• \( C_1 = 1,98 \) моль/л — молярная концентрация первого раствора.
• \( \rho_1 = 1,015 \) г/мл — плотность первого раствора.
• \( V_2 = 10,0 \) мл — объём второго раствора.
• \( \omega_2 = 40,2 \)% — массовая доля второго раствора.
• \( \rho_2 = 1,05 \) г/мл — плотность второго раствора.
• \( \omega_3 = 27,2 \)% — массовая доля конечного раствора.
• \( \rho_3 = 1,035 \) г/мл — плотность конечного раствора.

Рассчитаем массу уксусной кислоты во втором растворе:

\[ m_{CH_3COOH, 2} = \frac{V_2 \cdot \rho_2 \cdot \omega_2}{100\%} = \frac{10,0 \text{ мл} \cdot 1,05 \text{ г/мл} \cdot 40,2\%}{100\%} = 4,221 \text{ г} \]

Рассчитаем молярную массу уксусной кислоты (CH₃COOH):

\[ M(CH_3COOH) = 12,01 \cdot 2 + 1,008 \cdot 4 + 16,00 \cdot 2 = 60,052 \text{ г/моль} \approx 60 \text{ г/моль} \]

Найдём количество моль уксусной кислоты во втором растворе:

\[ n_{CH_3COOH, 2} = \frac{m_{CH_3COOH, 2}}{M(CH_3COOH)} = \frac{4,221 \text{ г}}{60 \text{ г/моль}} \approx 0,07035 \text{ моль} \]

Пусть \( V_1 \) — искомый объём первого раствора. Масса первого раствора:

\[ m_1 = V_1 \cdot \rho_1 = V_1 \cdot 1,015 \text{ г/мл} \]

Количество моль уксусной кислоты в первом растворе:

\[ n_{CH_3COOH, 1} = C_1 \cdot V_1 = 1,98 \text{ моль/л} \cdot V_1 \]

Масса уксусной кислоты в первом растворе:

\[ m_{CH_3COOH, 1} = n_{CH_3COOH, 1} \cdot M(CH_3COOH) = (1,98 \cdot V_1) \cdot 60 \text{ г/моль} = 118,8 \cdot V_1 \text{ г} \]

Общая масса уксусной кислоты в конечном растворе:

\[ m_{CH_3COOH, общ} = m_{CH_3COOH, 1} + m_{CH_3COOH, 2} = 118,8 \cdot V_1 + 4,221 \text{ г} \]

Общая масса конечного раствора:

\[ m_3 = V_3 \cdot \rho_3 \]

Общий объём конечного раствора:

\[ V_3 = V_1 + V_2 \]

Тогда масса конечного раствора:

\[ m_3 = (V_1 + 10,0 \text{ мл}) \cdot 1,035 \text{ г/мл} = 1,035 V_1 + 10,35 \text{ г} \]

По определению массовой доли:

\[ \omega_3 = \frac{m_{CH_3COOH, общ}}{m_3} \cdot 100\% \]

\[ 27,2\% = \frac{118,8 V_1 + 4,221}{1,035 V_1 + 10,35} \cdot 100\% \]

\[ 0,272 = \frac{118,8 V_1 + 4,221}{1,035 V_1 + 10,35} \]

\[ 0,272 (1,035 V_1 + 10,35) = 118,8 V_1 + 4,221 \]

\[ 0,28168 V_1 + 2,8168 = 118,8 V_1 + 4,221 \]

\[ 2,8168 - 4,221 = 118,8 V_1 - 0,28168 V_1 \]

\[ -1,4042 = 118,51832 V_1 \]

Проблема в расчёте массовой доли второго раствора. Во втором растворе 40,2% уксусной кислоты, а в конечном 27,2%. Массовая доля кислоты должна уменьшаться, а не увеличиваться. Если добавить более концентрированный раствор к менее концентрированному, то средняя концентрация будет между ними. Если же добавляется более разбавленный раствор (1,98 моль/л, что соответствует примерно 11,9% уксусной кислоты, так как \( \frac{1.98 \text{ моль/л} \times 60 \text{ г/моль}}{1.015 \text{ г/мл} \times 1000 \text{ мл/л}} \times 100 \text{%} \\) ) к более концентрированному (40.2%), то конечная концентрация должна быть меньше 40.2% и больше 11.9%.

Пересчитаем массовую долю первого раствора:

\[ \omega_1 = \frac{C_1 \cdot M(CH_3COOH)}{\rho_1 \cdot 1000} \cdot 100\% = \frac{1,98 \text{ моль/л} \cdot 60 \text{ г/моль}}{1,015 \text{ г/мл} \cdot 1000 \text{ мл/л}} \cdot 100\% = \frac{118,8}{1015} \cdot 100\% \approx 11,70 \% \]

Итак, смешиваем 11,70% раствор с 40,2% раствором, получаем 27,2% раствор. Это возможно.

Масса первого раствора: \( m_1 = V_1 \cdot \rho_1 \). Масса уксусной кислоты в первом растворе: \( m_{CH_3COOH, 1} = m_1 \cdot \frac{\omega_1}{100\%} = V_1 \cdot 1,015 \cdot \frac{11,70}{100} = 0,118755 V_1 \).

Масса второго раствора: \( m_2 = V_2 \cdot \rho_2 = 10,0 \text{ мл} \cdot 1,05 \text{ г/мл} = 10,5 \text{ г} \).

Масса уксусной кислоты во втором растворе: \( m_{CH_3COOH, 2} = m_2 \cdot \frac{\omega_2}{100\%} = 10,5 \text{ г} \cdot \frac{40,2}{100} = 4,221 \text{ г} \).

Общая масса конечного раствора: \( m_3 = m_1 + m_2 = 1,015 V_1 + 10,5 \text{ г} \).

Общая масса уксусной кислоты в конечном растворе: \( m_{CH_3COOH, общ} = m_{CH_3COOH, 1} + m_{CH_3COOH, 2} = 0,118755 V_1 + 4,221 \text{ г} \).

Масса конечного раствора: \( m_3 = V_3 \cdot \rho_3 \). \( V_3 = V_1 + V_2 \).

\[ m_3 = (V_1 + 10,0 \text{ мл}) \cdot 1,035 \text{ г/мл} = 1,035 V_1 + 10,35 \text{ г} \]

Приравниваем выражения для массы конечного раствора:

\[ 1,015 V_1 + 10,5 = 1,035 V_1 + 10,35 \]

\[ 10,5 - 10,35 = 1,035 V_1 - 1,015 V_1 \]

\[ 0,15 = 0,02 V_1 \]

\[ V_1 = \frac{0,15}{0,02} = 7,5 \text{ мл} \]

Теперь проверим с массовой долей:

\[ \omega_3 = \frac{m_{CH_3COOH, общ}}{m_3} \cdot 100\% = \frac{0,118755 V_1 + 4,221}{1,015 V_1 + 10,5} \cdot 100\% \]

Подставим \( V_1 = 7,5 \text{ мл} \):

\[ m_{CH_3COOH, общ} = 0,118755 \cdot 7,5 + 4,221 = 0,8906625 + 4,221 = 5,1116625 \text{ г} \]

\[ m_3 = 1,015 \cdot 7,5 + 10,5 = 7,6125 + 10,5 = 18,1125 \text{ г} \]

\[ \omega_3 = \frac{5,1116625}{18,1125} \cdot 100\% \approx 28,22 \% \]

Полученная массовая доля (28,22%) не совпадает с заданной (27,2%). Это означает, что мы применили неверное уравнение для массы конечного раствора. Масса конечного раствора равна сумме масс реагентов, а объём конечного раствора не равен сумме объёмов реагентов из-за изменения плотности.

Итак, корректное уравнение будет:

\[ \frac{m_{CH_3COOH, 1} + m_{CH_3COOH, 2}}{m_1 + m_2} = \frac{\omega_3}{100\%} \]

\[ \frac{0,118755 V_1 + 4,221}{1,015 V_1 + 10,5} = \frac{27,2}{100} = 0,272 \]

\[ 0,118755 V_1 + 4,221 = 0,272 (1,015 V_1 + 10,5) \]

\[ 0,118755 V_1 + 4,221 = 0,27508 V_1 + 2,856 \]

\[ 4,221 - 2,856 = 0,27508 V_1 - 0,118755 V_1 \]

\[ 1,365 = 0,156325 V_1 \]

\[ V_1 = \frac{1,365}{0,156325} \approx 8,73 \text{ мл} \]

Проверим результат:

Масса первого раствора: \( m_1 = 8,73 \text{ мл} \times 1,015 \text{ г/мл} = 8,85095 \text{ г} \).

Масса уксусной кислоты в первом растворе: \( m_{CH_3COOH, 1} = 8,85095 \text{ г} \times 0,1170 = 1,03556 \text{ г} \).

Масса второго раствора: \( m_2 = 10,0 \text{ мл} \times 1,05 \text{ г/мл} = 10,5 \text{ г} \).

Масса уксусной кислоты во втором растворе: \( m_{CH_3COOH, 2} = 10,5 \text{ г} \times 0,402 = 4,221 \text{ г} \).

Общая масса кислоты: \( m_{CH_3COOH, общ} = 1,03556 + 4,221 = 5,25656 \text{ г} \).

Общая масса раствора: \( m_3 = 8,85095 + 10,5 = 19,35095 \text{ г} \).

Массовая доля: \( \omega_3 = \frac{5,25656}{19,35095} \times 100\% \approx 27,16 \% \).

Результат близок к заданному значению 27,2%.

Ответ: 8,73 мл.