209. На сторонах AC и BC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно, что AD : DC = 3 : 2, BE : EC = 1 : 3. Выразите векторы BC, AC, AB, AE и BD через векторы BE = a и AD = b.

Question

Вопрос:

Фото задания: 209. На сторонах AC и BC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно, что AD : DC = 3 : 2, BE : EC = 1 : 3. Выразите…

209. На сторонах AC и BC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно, что AD : DC = 3 : 2, BE : EC = 1 : 3. Выразите векторы BC, AC, AB, AE и BD через векторы BE = a и AD = b.

Accepted Answer

Из отношения BE : EC = 1 : 3 следует, что \(\overrightarrow{EC}=3\mathbf{a}\), поэтому

\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC}=4\mathbf{a}.\)

Точки A, D, C лежат на одной стороне, и \(\overrightarrow{DC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\mathbf{b}\). Поэтому

\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\frac{5}{3}\mathbf{b}.\)

По правилу сложения векторов \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\), значит

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\frac{5}{3}\mathbf{b}-4\mathbf{a}.\)

Далее, \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\frac{5}{3}\mathbf{b}-3\mathbf{a}\).

Наконец, \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\mathbf{b}=4\mathbf{a}-\frac{2}{3}\mathbf{b}.\)

Ответ: \(\overrightarrow{BC}=4\mathbf{a},\quad \overrightarrow{AC}=\frac{5}{3}\mathbf{b},\quad \overrightarrow{AB}=\frac{5}{3}\mathbf{b}-4\mathbf{a},\quad \overrightarrow{AE}=\frac{5}{3}\mathbf{b}-3\mathbf{a},\quad \overrightarrow{BD}=4\mathbf{a}-\frac{2}{3}\mathbf{b}.\)