209. Постройте график функции: а) y = |x² + 8x + 12|; б) y = x² − |x| − 6.

а) Найдём нули выражения под модулем: \(x^2+8x+12=(x+6)(x+2)\), поэтому нули — \(-6\) и \(-2\). Между ними выражение отрицательно, значит этот участок параболы отражается вверх:

\[y=\begin{cases}x^2+8x+12, & x\leq -6\text{ или }x\geq -2,\\-(x^2+8x+12), & -6\leq x\leq -2.\end{cases}\]

Ключевые точки: \((-6;0)\), \((-4;4)\), \((-2;0)\). Вершина исходной параболы — \((-4;-4)\), после отражения она переходит в точку \((-4;4)\).

б) Функция чётная, так как зависит от \(|x|\). Положим \(t=|x|\): тогда \(y=t^2-t-6=(t-3)(t+2)\). Нуль при \(|x|=3\), то есть \(x=-3\) и \(x=3\). Для построения удобно записать функцию по частям:

\[y=\begin{cases}x^2+x-6, & x<0,\\x^2-x-6, & x\geq 0.\end{cases}\]

Ключевые точки: нули \((-3;0)\) и \((3;0)\); минимумы \((-0.5;-6.25)\) и \((0.5;-6.25)\); точка излома \((0;-6)\).