209. Решить уравнение: 1) \(27^x=\frac{1}{3}\); 2) \(400^x=\frac{1}{20}\); 3) \(\left(\frac{1}{5}\right)^x=25\); 4) \(\left(\frac{1}{3}\right)^x=\frac{1}{81}\).

1. Представим обе части как степени числа \(3\): \(27^x=3^{3x}\), а \(\frac{1}{3}=3^{-1}\). Тогда \(3x=-1\), откуда \(x=-\frac{1}{3}\).
2. Запишем \(400=20^2\) и \(\frac{1}{20}=20^{-1}\). Получаем \(20^{2x}=20^{-1}\), значит, \(2x=-1\) и \(x=-\frac{1}{2}\).
3. Запишем \(25=5^2=\left(\frac{1}{5}\right)^{-2}\). Тогда \(x=-2\).
4. Так как \(\frac{1}{81}=\left(\frac{1}{3}\right)^4\), равенство степеней с одинаковым основанием даёт \(x=4\).

Ответ: 1) \(-\frac{1}{3}\); 2) \(-\frac{1}{2}\); 3) \(-2\); 4) \(4\).