20 Имеется два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй – 20 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 45% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде? Ответ:

Решение:

Обозначим:

• \[ m_1 = 60 \text{ кг} \] — масса первого раствора.
• \[ m_2 = 20 \text{ кг} \] — масса второго раствора.
• \[ c_1 \] — концентрация кислоты в первом растворе (в долях).
• \[ c_2 \] — концентрация кислоты во втором растворе (в долях).

Условие 1: Смешивание всех растворов.

Общая масса смеси: \[ m_{общ} = m_1 + m_2 = 60 + 20 = 80 \text{ кг} \]

Масса кислоты в первом растворе: \[ K_1 = m_1 \times c_1 = 60 c_1 \]

Масса кислоты во втором растворе: \[ K_2 = m_2 \times c_2 = 20 c_2 \]

Общая масса кислоты в смеси: \[ K_{общ} = K_1 + K_2 = 60 c_1 + 20 c_2 \]

Концентрация кислоты в итоговой смеси: \[ c_{общ} = \frac{K_{общ}}{m_{общ}} = \frac{60 c_1 + 20 c_2}{80} \]

По условию, эта концентрация равна 30%, то есть 0.3:

\[ \frac{60 c_1 + 20 c_2}{80} = 0.3 \]

\[ 60 c_1 + 20 c_2 = 0.3 \times 80 \]

\[ 60 c_1 + 20 c_2 = 24 \]

Разделим всё уравнение на 20 для упрощения:

\[ 3 c_1 + c_2 = 1.2 \quad (1) \]

Условие 2: Смешивание равных масс.

Пусть мы взяли массу \[ x \text{ кг} \] первого раствора и \[ x \text{ кг} \] второго раствора.

Масса кислоты в первом растворе: \[ x c_1 \]

Масса кислоты во втором растворе: \[ x c_2 \]

Общая масса смеси: \[ 2x \]

Общая масса кислоты в смеси: \[ x c_1 + x c_2 = x(c_1 + c_2) \]

Концентрация кислоты в итоговой смеси: \[ \frac{x(c_1 + c_2)}{2x} = \frac{c_1 + c_2}{2} \]

По условию, эта концентрация равна 45%, то есть 0.45:

\[ \frac{c_1 + c_2}{2} = 0.45 \]

\[ c_1 + c_2 = 0.45 \times 2 \]

\[ c_1 + c_2 = 0.9 \quad (2) \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (\[ c_1 \] и \[ c_2 \]):

1. \[ 3 c_1 + c_2 = 1.2 \]
2. \[ c_1 + c_2 = 0.9 \]

Выразим \[ c_2 \] из второго уравнения:

\[ c_2 = 0.9 - c_1 \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ 3 c_1 + (0.9 - c_1) = 1.2 \]

\[ 3 c_1 + 0.9 - c_1 = 1.2 \]

\[ 2 c_1 = 1.2 - 0.9 \]

\[ 2 c_1 = 0.3 \]

\[ c_1 = \frac{0.3}{2} \]

\[ c_1 = 0.15 \]

Концентрация кислоты в первом сосуде составляет 0.15, что равно 15%.

Ответ: 15%