21.10. Вычислите интеграл: а) $\int_{0}^{3\pi/4}\left(6\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}\right)dx$; б) $\int_{-\pi}^{0}\left(2\sin^2\frac{x}{4}-1\right)dx$; в), г) [условия обрезаны].

Question

Вопрос: $Фото задания: 21.10. Вычислите интеграл: а) $\int_{0}^{3\pi/4}\left(6\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}\right)dx$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Используем формулу $2\sin u\cos u=\sin 2u$:

$6\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=3\sin\frac{2x}{3}$.

$\displaystyle \int_{0}^{3\pi/4}3\sin\frac{2x}{3}\,dx=\left[-\frac{9}{2}\cos\frac{2x}{3}\right]_{0}^{3\pi/4}=\frac{9}{2}.$

б) По формуле $2\sin^2u-1=-\cos 2u$:

$\displaystyle \int_{-\pi}^{0}\left(2\sin^2\frac{x}{4}-1\right)dx=\int_{-\pi}^{0}-\cos\frac{x}{2}\,dx=\left[-2\sin\frac{x}{2}\right]_{-\pi}^{0}=-2.$

Подпункты в) и г) обрезаны на фотографии, поэтому для их решения нужны полные условия.

Ответ: а) $\frac{9}{2}$; б) $-2$.

21.10. Вычислите интеграл: а) \(\int_{0}^{3\pi/4}\left(6\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}\right)dx\); б) \(\int_{-\pi}^{0}\left(2\sin^2\frac{x}{4}-1\right)dx\); в), г) [условия обрезаны].