21.14. В окружности с центром О через середину радиуса провели перпендикулярную ему хорду АВ. Докажите, что ∠AOB = 120°.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Пусть O — центр окружности, R — радиус.
2. Пусть M — середина радиуса OA. Через точку M проведена хорда AB, перпендикулярная OA.
3. Рассмотрим треугольник AOB. OA = OB = R (радиусы). Следовательно, треугольник AOB — равнобедренный.
4. OM = R/2 (по условию, M — середина радиуса OA).
5. В равнобедренном треугольнике AOB, OM является высотой к хорде AB (так как OM ⊥ AB).
6. В прямоугольном треугольнике OMA (угол OMA = 90°), OM = R/2 и OA = R.
7. Найдем угол ∠AOM. В прямоугольном треугольнике OMA, \( \cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2} \).
8. Следовательно, \( \angle AOM = 60° \).
9. Так как OM является биссектрисой угла ∠AOB (в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и биссектрисой), то \( \angle AOB = 2 \cdot \angle AOM \).
10. \( \angle AOB = 2 \cdot 60° = 120° \).

Доказано.