21. (3 балла) Из точки О пересечения диагоналей квадрата ABCD к его плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ так, что 2 ОВМ = 45°. Найдите косинус угла АВМ.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике \( \triangle OBM \) \( OB \) — катет, \( OM \) — катет, \( BM \) — гипотенуза.
2. Так как \( \angle OBM = 45^{\circ} \), то \( \triangle OBM \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, и \( OB = OM \).
3. В квадрате диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам: \( OB = OD = OA = OC \).
4. Также \( OB = \frac{1}{2} BD \) и \( AC = BD \).
5. Из \( \triangle OBM \) по теореме Пифагора: \( BM^2 = OB^2 + OM^2 \).
6. Так как \( OB = OM \), то \( BM^2 = OB^2 + OB^2 = 2 OB^2 \), откуда \( BM = OB \sqrt{2} \).
7. Нам нужно найти \( \cos(\angle ABM) \). В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABM \) \( AB \) — катет, \( BM \) — гипотенуза.
8. \( \cos(\angle ABM) = \frac{AB}{BM} \).
9. В квадрате \( ABCD \) диагональ \( BD = AB \sqrt{2} \).
10. Так как \( OB = \frac{1}{2} BD \), то \( OB = \frac{AB \sqrt{2}}{2} \).
11. Подставим \( OB \) в выражение для \( BM \): \( BM = \left(\frac{AB \sqrt{2}}{2}\right) \sqrt{2} = \frac{AB \cdot 2}{2} = AB \).
12. Теперь найдём косинус: \( \cos(\angle ABM) = \frac{AB}{BM} = \frac{AB}{AB} = 1 \).

Ответ: 1