21. (3 балла). Решите уравнение 7 cos²x-8sinx-8=0.

Решение:

Данное уравнение является тригонометрическим. Для его решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \cos^2x + \sin^2x = 1 \), откуда \( \cos^2x = 1 - \sin^2x \).

1. Подставим выражение для \( \cos^2x \) в уравнение:
   \( 7(1 - \sin^2x) - 8\sin x - 8 = 0 \)
2. Раскроем скобки и приведём подобные члены:
   \( 7 - 7\sin^2x - 8\sin x - 8 = 0 \)
   \( -7\sin^2x - 8\sin x - 1 = 0 \)
3. Умножим всё уравнение на -1 для удобства:
   \( 7\sin^2x + 8\sin x + 1 = 0 \)
4. Введём замену переменной. Пусть \( t = \sin x \). Тогда получим квадратное уравнение относительно \( t \):
   \( 7t^2 + 8t + 1 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение, найдя дискриминант:
   \( D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36 \)
6. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:
   \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 7} = \frac{-8 + 6}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7} \)
   \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 7} = \frac{-8 - 6}{14} = \frac{-14}{14} = -1 \)
7. Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), заменив \( t \) на \( \sin x \):
   \( \sin x = -\frac{1}{7} \) или \( \sin x = -1 \)
8. Решим каждое из полученных тригонометрических уравнений:
   Для \( \sin x = -1 \):
   \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
   Для \( \sin x = -\frac{1}{7} \):
   \( x = \arcsin\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n \) или \( x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.
   Упростим, используя свойство \( \arcsin(-y) = -\arcsin(y) \):
   \( x = -\arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + 2\pi n \) или \( x = \pi + \arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( x = -\arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + 2\pi n \), \( x = \pi + \arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.