21-30. Найти неопределенные интегралы. В двух первых примера результаты проверить дифференцированием. B) ∫ (x³-6)/(x⁴ + 6x² + 8) dx ; г) ∫ dx / (sinx + cosx)

Решение:

Задание B:

Интеграл представляет собой дробно-рациональную функцию. Знаменатель разложим на множители: \( x^4 + 6x^2 + 8 = (x^2 + 2)(x^2 + 4) \).

Представим дробь в виде суммы простейших дробей:

\[ \frac{x^3 - 6}{x^4 + 6x^2 + 8} = \frac{Ax + B}{x^2 + 2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 4} \]

Приведя к общему знаменателю, получаем:

\[ x^3 - 6 = (Ax + B)(x^2 + 4) + (Cx + D)(x^2 + 2) \]

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \( x \):

При \( x^3 \): \( A + C = 1 \)

При \( x^2 \): \( B + D = 0 \) \(\Rightarrow\) \( D = -B \)

При \( x \): \( 4A + 2C = 0 \) \(\Rightarrow\) \( 2A + C = 0 \) \(\Rightarrow\) \( C = -2A \)

Свободный член: \( 4B + 2D = -6 \)

Подставляем \( C = -2A \) в \( A + C = 1 \): \( A - 2A = 1 \) \(\Rightarrow\) \( -A = 1 \) \(\Rightarrow\) \( A = -1 \).

Тогда \( C = -2(-1) = 2 \).

Подставляем \( D = -B \) в \( 4B + 2D = -6 \): \( 4B - 2B = -6 \) \(\Rightarrow\) \( 2B = -6 \) \(\Rightarrow\) \( B = -3 \).

Тогда \( D = -(-3) = 3 \).

Таким образом:

\[ \int \frac{x^3 - 6}{x^4 + 6x^2 + 8} dx = \int \left( \frac{-x - 3}{x^2 + 2} + \frac{2x + 3}{x^2 + 4} \right) dx \]

\[ = -\int \frac{x}{x^2 + 2} dx - 3\int \frac{1}{x^2 + 2} dx + 2\int \frac{x}{x^2 + 4} dx + 3\int \frac{1}{x^2 + 4} dx \]

Вычисляем интегралы:

\( \int \frac{x}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 + a^2| \)

\( \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) \)

\[ -\frac{1}{2} \ln(x^2 + 2) - \frac{3}{2} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + \frac{2}{2} \ln(x^2 + 4) + \frac{3}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C \]

\[ = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{x^2 + 4}{x^2 + 2}\right) - \frac{3}{2} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + \frac{3}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C \]

Задание г:

Для вычисления интеграла \( \int \frac{dx}{\sin x + \cos x} \) используем универсальную тригонометрическую подстановку \( t = \tan(\frac{x}{2}) \). Тогда \( dx = \frac{2dt}{1+t^2} \), \( \sin x = \frac{2t}{1+t^2} \), \( \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \).

\[ \sin x + \cos x = \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac{1+2t-t^2}{1+t^2} \]

Интеграл примет вид:

\[ \int \frac{1}{\frac{1+2t-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2dt}{1+t^2} = \int \frac{1+t^2}{1+2t-t^2} \cdot \frac{2dt}{1+t^2} = 2 \int \frac{dt}{1+2t-t^2} \]

Выделим полный квадрат в знаменателе:

\[ 1 + 2t - t^2 = -(t^2 - 2t - 1) = -((t-1)^2 - 2) = 2 - (t-1)^2 \]

Получаем интеграл:

\[ 2 \int \frac{dt}{2 - (t-1)^2} \]

Это интеграл вида \( \int \frac{du}{a^2 - u^2} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+u}{a-u}\right| + C \), где \( a^2 = 2 \Rightarrow a = \sqrt{2} \) и \( u = t-1 \).

\[ 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left|\frac{\sqrt{2} + (t-1)}{\sqrt{2} - (t-1)}\right| + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\frac{\sqrt{2} + t - 1}{\sqrt{2} - t + 1}\right| + C \]

Подставим обратно \( t = \tan(\frac{x}{2}) \):

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\frac{\sqrt{2} + \tan(\frac{x}{2}) - 1}{\sqrt{2} - \tan(\frac{x}{2}) + 1}\right| + C \]

Альтернативный способ для г:

Умножим числитель и знаменатель на \( \cos x \):

\[ \int \frac{1}{\sin x + \cos x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x \cos x + \cos^2 x} dx \]

Используем \( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) \) и \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \).

\[ \int \frac{\cos x}{\frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1+\cos(2x)}{2}} dx = 2 \int \frac{\cos x}{\sin(2x) + \cos(2x) + 1} dx \]

Этот путь может быть сложнее. Вернемся к первоначальному знаменателю и преобразуем его:

\[ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) = \sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{4})\sin x + \sin(\frac{\pi}{4})\cos x \right) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) \]

Тогда интеграл:

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sin(x + \frac{\pi}{4})} \]

Используем формулу \( \int \frac{dx}{\sin x} = \ln\left|\tan(\frac{x}{2})\right| + C \).

Пусть \( u = x + \frac{\pi}{4} \), тогда \( du = dx \).

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{du}{\sin u} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\tan(\frac{u}{2})\right| + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\tan(\frac{x + \frac{\pi}{4}}{2})\right| + C \]

\[ = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8})\right| + C \]

Ответ: B) \( \frac{1}{2} \ln\left(\frac{x^2 + 4}{x^2 + 2}\right) - \frac{3}{2} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + \frac{3}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C \), г) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left|\tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8})\right| + C \).