21.43. Найдите площади фигур, ограниченных указанными линиями: а) $y=x^2$, $y=0$, $x=4$; б) $y=x^3$, $y=0$, $x=-3$, $x=1$; в) $y=x^2$, $y=0$, $x=-3$; г) $y=x^4$, $y=0$, $x=-1$, $x=2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21.43. Найдите площади фигур, ограниченных указанными линиями: а) $y=x^2$, $y=0$, $x=4$; б) $y=x^3$, $y=0$,…$ Фото задания

21.43. Найдите площади фигур, ограниченных указанными линиями: а) $y=x^2$, $y=0$, $x=4$; б) $y=x^3$, $y=0$, $x=-3$, $x=1$; в) $y=x^2$, $y=0$, $x=-3$; г) $y=x^4$, $y=0$, $x=-1$, $x=2$.

Accepted Answer

Площадь между графиком функции и осью абсцисс равна интегралу от абсолютного значения функции. Если функция меняет знак, разобьём промежуток в точке пересечения с осью.

а) График пересекает ось абсцисс при $x=0$, поэтому

\[S=\int_0^4 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^4=\frac{64}{3}.\]

б) Функция отрицательна на $[-3,0]$ и положительна на $[0,1]$. Складываем площади:

\[S=-\int_{-3}^0 x^3\,dx+\int_0^1 x^3\,dx=\frac{81}{4}+\frac14=\frac{41}{2}.\]

в) Парабола пересекает ось абсцисс при $x=0$; область лежит на отрезке $[-3,0]$:

\[S=\int_{-3}^0 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-3}^0=9.\]

г) Так как $x^4\ge 0$,

\[S=\int_{-1}^2 x^4\,dx=\left.\frac{x^5}{5}\right|_{-1}^2=\frac{33}{5}.\]

Ответ: а) $\frac{64}{3}$; б) $\frac{41}{2}$; в) $9$; г) $\frac{33}{5}$.

21.43. Найдите площади фигур, ограниченных указанными линиями: а) \(y=x^2\), \(y=0\), \(x=4\); б) \(y=x^3\), \(y=0\), \(x=-3\), \(x=1\); в) \(y=x^2\), \(y=0\), \(x=-3\); г) \(y=x^4\), \(y=0\), \(x=-1\), \(x=2\).

Ответ: