21.44. Найдите площади фигур, ограниченных указанными линиями: а) $y=x^3+2$, $y=0$, $x=0$, $x=2$; б) $y=-x^2+4x$, $y=0$; в) $y=4-x^2$, $y=0$; г) $y=-x^3+1$, $y=0$, $x=0$, $x=-2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21.44. Найдите площади фигур, ограниченных указанными линиями: а) $y=x^3+2$, $y=0$, $x=0$, $x=2$; б) $y=-x^2+4x$,…$ Фото задания

21.44. Найдите площади фигур, ограниченных указанными линиями: а) $y=x^3+2$, $y=0$, $x=0$, $x=2$; б) $y=-x^2+4x$, $y=0$; в) $y=4-x^2$, $y=0$; г) $y=-x^3+1$, $y=0$, $x=0$, $x=-2$.

Accepted Answer

Площадь вычисляем интегрированием модуля функции на промежутке, ограничивающем фигуру.

а) На отрезке $[0,2]$ функция положительна:

\[S=\int_0^2(x^3+2)\,dx=\left.\left(\frac{x^4}{4}+2x\right)\right|_0^2=8.\]

б) Пересечения с осью абсцисс: $-x^2+4x=x(4-x)=0$, то есть $x=0$ и $x=4$. Между ними функция положительна:

\[S=\int_0^4(-x^2+4x)\,dx=\left.\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\right|_0^4=\frac{32}{3}.\]

в) Пересечения с осью абсцисс: $4-x^2=0$, откуда $x=-2$ и $x=2$. На этом промежутке функция положительна:

\[S=\int_{-2}^2(4-x^2)\,dx=\frac{32}{3}.\]

г) На отрезке $[-2,0]$ функция $1-x^3$ положительна:

\[S=\int_{-2}^0(1-x^3)\,dx=\left.\left(x-\frac{x^4}{4}\right)\right|_{-2}^0=6.\]

Ответ: а) $8$; б) $\frac{32}{3}$; в) $\frac{32}{3}$; г) $6$.

21.44. Найдите площади фигур, ограниченных указанными линиями: а) \(y=x^3+2\), \(y=0\), \(x=0\), \(x=2\); б) \(y=-x^2+4x\), \(y=0\); в) \(y=4-x^2\), \(y=0\); г) \(y=-x^3+1\), \(y=0\), \(x=0\), \(x=-2\).

Ответ: