21.6 Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 36°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — \( O \), а сторона ромба — \( AB \).

Перпендикуляр, опущенный из \( O \) на сторону \( AB \) (пусть основание перпендикуляра — \( K \)), образует с диагоналями ромба прямоугольные треугольники.

Рассмотрим треугольник \( AO B \). Он прямоугольный, так как диагонали ромба перпендикулярны.

Перпендикуляр \( OK \) к стороне \( AB \) образует с диагональю \( AO \) угол \( 36^ \). В прямоугольном треугольнике \( AKO \) (или \( BKO \) — из-за симметрии), угол \( AOK = 90^ \), угол \( AKO = 90^ \) (так как \( OK \) — перпендикуляр), а угол \( OAK = 36^ \).

Сумма углов в треугольнике \( AKO \): \( AOK + AKO + OAK = 180^ \).

\( 90^ + 90^ + 36^ = 216^ \). Это невозможно.

Перечитаем условие: «Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 36°».

Рассмотрим треугольник \( AO B \). \( O \) — точка пересечения диагоналей. \( AB \) — сторона ромба. \( OK \) — перпендикуляр из \( O \) на \( AB \). \( OK AB \). Угол \( AOK = 90^ \).

В прямоугольном треугольнике \( AKO \), у нас есть: \( AKO = 90^ \). Угол, образованный перпендикуляром \( OK \) и диагональю \( AO \) равен \( 36^ \). Значит, \( OAK = 36^ \).

Тогда в треугольнике \( AKO \): \( AOK = 180^ - 90^ - 36^ = 54^ \).

\( AOK \) — это половина угла ромба \( DAB \), так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Значит, угол \( DAB = 2 AOK = 2 \times 54^ = 108^ \).

Это тупой угол ромба.

Острый угол ромба — это смежный угол: \( 180^ - 108^ = 72^ \).

Проверим: если острый угол \( 72^ \), то \( OAK = 72^ / 2 = 36^ \). В прямоугольном треугольнике \( AKO \), \( OAK = 36^ \), \( AKO = 90^ \), тогда \( AOK = 180^ - 90^ - 36^ = 54^ \).

По условию, перпендикуляр \( OK \) образует с диагональю \( AO \) угол \( 36^ \). Это значит, что \( OAK = 36^ \) ИЛИ \( AKO = 36^ \) ИЛИ \( AOK = 36^ \).

Мы определили, что \( AOK = 54^ \), значит, \( OAK = 36^ \). Это соответствует условию.

Угол \( OAK \) — это половина угла ромба \( DAB \).

Следовательно, \( DAB = 2 OAK = 2 \times 36^ = 72^ \).

Это острый угол ромба.

Ответ: 72°.