21.7. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

1. Пусть даны две хорды AB и CD окружности с центром O. Пусть OM и ON - перпендикуляры, опущенные из центра O на хорды AB и CD соответственно. По условию OM = ON.
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔOMA и ΔONC. Гипотенузы OA и OC являются радиусами окружности, поэтому OA = OC. Катеты OM и ON равны по условию.
3. По двум катетам (OM = ON и OA = OC) треугольники ΔOMA и ΔONC равны. Следовательно, AM = CN. Так как OM и ON являются высотами и медианами в равнобедренных треугольниках ΔOAB и ΔOCD (где OA=OB и OC=OD), то AB = 2AM и CD = 2CN. Отсюда следует, что AB = CD.
Доказано.