21.8. Вычислите интегралы: а) $\displaystyle \int_{-\pi/4}^{\pi/2}\cos 2x\,dx$; б) $\displaystyle \int_0^{\pi/3}\frac{5}{\sin^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\,dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21.8. Вычислите интегралы: а) $\displaystyle \int_{-\pi/4}^{\pi/2}\cos 2x\,dx$; б) \(\displaystyle…$ Фото задания

21.8. Вычислите интегралы: а) $\displaystyle \int_{-\pi/4}^{\pi/2}\cos 2x\,dx$; б) $\displaystyle \int_0^{\pi/3}\frac{5}{\sin^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\,dx$.

Accepted Answer

а) Используем первообразную $\int \cos 2x\,dx=\frac12\sin 2x$.

$\displaystyle \int_{-\pi/4}^{\pi/2}\cos 2x\,dx=\left.\frac12\sin 2x\right|_{-\pi/4}^{\pi/2}=\frac12\bigl(\sin\pi-\sin(-\pi/2)\bigr)=\frac12.$

б) Так как $\frac{d}{dx}\cot u=-\csc^2u\cdot u'$, первообразная подынтегральной функции равна $-5\cot\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$.

$\displaystyle \int_0^{\pi/3}\frac{5}{\sin^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\,dx=\left.-5\cot\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right|_0^{\pi/3}=-5\cot\frac{2\pi}{3}+5\cot\frac{\pi}{3}=\frac{10}{\sqrt3}=\frac{10\sqrt3}{3}.$

Ответ: а) $\frac12$; б) $\frac{10\sqrt3}{3}$.

21.8. Вычислите интегралы: а) \(\displaystyle \int_{-\pi/4}^{\pi/2}\cos 2x\,dx\); б) \(\displaystyle \int_0^{\pi/3}\frac{5}{\sin^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\,dx\).

Ответ: