21. Два автомобиля одновременно отправляются в 420-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 24 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение:

Обозначим скорость второго автомобиля как \( x \) км/ч. Тогда скорость первого автомобиля будет \( x + 24 \) км/ч.

Время, которое затратил второй автомобиль на путь, равно \( \frac{420}{x} \) часов.

Время, которое затратил первый автомобиль на путь, равно \( \frac{420}{x + 24} \) часов.

По условию задачи, первый автомобиль прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Это значит, что время второго автомобиля больше времени первого на 2 часа:

$$ \frac{420}{x} - \frac{420}{x + 24} = 2 $$

Умножим обе части уравнения на \( x(x + 24) \), чтобы избавиться от знаменателей:

$$ 420(x + 24) - 420x = 2x(x + 24) $$

Раскроем скобки:

$$ 420x + 10080 - 420x = 2x^2 + 48x $$

Упростим уравнение:

$$ 10080 = 2x^2 + 48x $$

Разделим обе части на 2:

$$ 5040 = x^2 + 24x $$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ x^2 + 24x - 5040 = 0 $$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).

Здесь \( a = 1 \), \( b = 24 \), \( c = -5040 \).

$$ D = (24)^2 - 4(1)(-5040) = 576 + 20160 = 20736 $$

Найдем корень из дискриминанта: \( \sqrt{20736} = 144 \).

Теперь найдём значения \( x \):

$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 + 144}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60 $$

$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 - 144}{2 \cdot 1} = \frac{-168}{2} = -84 $$

Так как скорость не может быть отрицательной, мы отбрасываем отрицательный корень.

Скорость второго автомобиля \( x = 60 \) км/ч.

Скорость первого автомобиля равна \( x + 24 \) км/ч.

$$ 60 + 24 = 84 \) км/ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля равна 84 км/ч.