21. Фигура внутри параллелограмма, закрашенная на рисунке, является ромбом. Верно ли, что у этого параллелограмма равны диагонали?

Обозначим соседние стороны параллелограмма векторами \(\vec a\) и \(\vec b\). Точки на верхней и нижней сторонах являются их серединами.

1. Стороны внутреннего ромба пропорциональны векторам \(2\vec b-\vec a\) и \(2\vec b+\vec a\).
2. Так как внутренняя фигура — ромб, длины этих векторов равны: \(\lvert 2\vec b-\vec a\rvert=\lvert 2\vec b+\vec a\rvert\).
3. Возведём равенство в квадрат: \((2\vec b-\vec a)^2=(2\vec b+\vec a)^2\).
4. После раскрытия скобок получаем \(-4\vec a\cdot\vec b=4\vec a\cdot\vec b\), откуда \(\vec a\cdot\vec b=0\). Значит, соседние стороны параллелограмма перпендикулярны.
5. Следовательно, данный параллелограмм является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны.

Ответ: да, диагонали этого параллелограмма равны.