21 июля 2026 г. Летняя физико-математическая школа 2026 г. Отряд №2 Рогачев И.А. Пример. Назовите второе по величине натуральное число, все цифры которого нечётны и различны. А) Назовем натуральное число белорецким, если в нем содержится ровно одна цифра «3» и ровно одна цифра «0». Найдите количество белорецких чисел, меньших 10000. В) Сколько существует пар натуральных чисел а и в таких, что 20a + 25b = 2025?

Решение:

Пример:

Натуральные числа, все цифры которых нечётны и различны:

1. 3-значные: 135, 137, 139, 153, ...
2. 4-значные: 1357, 1359, 1375, ...

Наибольшее такое число будет состоять из цифр 9, 7, 5, 3, 1. В порядке убывания: 97531. Если ограничиться 4-значными числами, то наибольшим будет 9753. Если ограничиться 3-значными числами, то наибольшим будет 975.

Второе по величине число зависит от того, сколько цифр разрешено. Если неограниченно, то это 97531 (или 9753, если 4 цифры, или 975, если 3 цифры).

Для большей ясности, предположим, что ищется второе по величине натуральное число, у которого все цифры нечётны и различны. Наибольшее такое число — 97531. Следующее по величине число можно составить, уменьшив последнюю цифру, либо переставив цифры. Наибольшее из нечётных цифр — 9. Наибольшее следующее — 7. Третье — 5. Четвертое — 3. Пятое — 1.

Самое большое число: 97531.

Второе по величине число: 97513.

А) Количество белорецких чисел, меньших 10000.

Белорецкое число содержит ровно одну цифру «3» и ровно одну цифру «0». Число меньше 10000, то есть может быть 1, 2, 3 или 4-значным.

1. Четырёхзначные белорецкие числа:

Число имеет вид _ _ _ _.

Случай 1: Цифра «3» на первом месте (тысячи).

Число: 3 _ _ _.

«0» может стоять на одном из 3 оставшихся мест (сотни, десятки, единицы).

Оставшиеся 2 места заполняются цифрами, отличными от 0 и 3. Всего таких цифр 8 (1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Количество способов выбрать 2 цифры из 8: \( \text{P}_8^2 = 8 \times 7 = 56 \).

Количество чисел: \( 1 \times 3 \times 56 = 168 \).

Случай 2: Цифра «3» не на первом месте.

Цифра «3» может стоять на одном из 3 мест (сотни, десятки, единицы). \( \binom{3}{1} = 3 \) способа.

Цифра «0» может стоять на одном из 2 оставшихся мест (исключая первое и место «3»).

Первая цифра (тысячи) не может быть «0» и «3». Остаётся 7 вариантов (1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Оставшееся место заполняется одной из 7 оставшихся цифр (исключая 0, 3 и первую цифру).

Количество чисел: \( 3 \times 1 \times 7 \times 7 = 147 \).

Всего четырёхзначных: \( 168 + 147 = 315 \).

2. Трёхзначные белорецкие числа:

Число имеет вид _ _ _.

«3» и «0» должны присутствовать. «3» не может быть на первом месте, если число трёхзначное, но мы рассматриваем как полную запись. В данном случае, если первая цифра — 3, и вторая — 0, то это всё равно трёхзначное число. Тогда первая цифра не 0.

Случай 1: «3» на первом месте.

Число: 3 _ _.

«0» может стоять на одном из 2 оставшихся мест. \( \binom{2}{1} = 2 \).

Оставшееся место заполняется цифрой, отличной от 0 и 3. Всего 8 вариантов.

Количество чисел: \( 1 \times 2 \times 8 = 16 \).

Случай 2: «3» не на первом месте.

«3» может стоять на одном из 2 мест (десятки, единицы). \( \binom{2}{1} = 2 \).

«0» может стоять на единственном оставшемся месте.

Первая цифра не может быть «0» и «3». Остаётся 7 вариантов.

Количество чисел: \( 7 \times 2 \times 1 = 14 \).

Всего трёхзначных: \( 16 + 14 = 30 \).

3. Двузначные белорецкие числа:

Число имеет вид _ _.

«3» и «0» должны присутствовать. Единственный вариант: 30.

Всего двузначных: 1.

4. Однозначные белорецкие числа:

Невозможно, так как нужно две разные цифры (3 и 0).

Общее количество белорецких чисел, меньших 10000: \( 315 + 30 + 1 = 346 \).

В) Количество пар натуральных чисел (a, b) таких, что 20a + 25b = 2025.

Уравнение: \( 20a + 25b = 2025 \).

Разделим обе части на 5, так как все числа делятся на 5:

\( 4a + 5b = 405 \).

Мы ищем пары натуральных чисел \( a, b \), то есть \( a \ge 1 \) и \( b \ge 1 \).

Выразим \( a \) через \( b \):

\( 4a = 405 - 5b \)

\( a = \frac{405 - 5b}{4} \)

Для того чтобы \( a \) было целым числом, \( 405 - 5b \) должно делиться на 4.

Рассмотрим остатки от деления на 4:

\( 405 \pmod{4} = 1 \)

\( 5b \pmod{4} = b \pmod{4} \)

Значит, \( 1 - b \pmod{4} \) должно делиться на 4, или \( 1 - b \equiv 0 \text{ (mod 4)} \).

Следовательно, \( b \equiv 1 \text{ (mod 4)} \).

Это означает, что \( b \) может принимать значения вида \( 4k + 1 \) для некоторого целого \( k \).

Так как \( b \) — натуральное число, \( b \ge 1 \). Наименьшее такое \( b \) — 1.

Теперь найдём максимальное возможное значение \( b \).

Из \( 4a + 5b = 405 \) и \( a \ge 1 \):

\( 4(1) + 5b \\text{max} = 405 \)

\( 5b \text{max} = 401 \)

\( b \text{max} = \frac{401}{5} = 80.2 \)

Значит, \( b \) может быть не более 80.

Теперь найдём максимальное \( b \) такое, что \( b \equiv 1 \text{ (mod 4)} \) и \( b \le 80 \).

\( 80 = 4 \times 20 \)

\( 79 = 4 \times 19 + 3 \)

\( 77 = 4 \times 19 + 1 \).

Значит, наибольшее возможное значение \( b \) — 77.

Нам нужно найти количество значений \( b \) вида \( 4k + 1 \), таких что \( 1 \le b \le 77 \).

\( 1 = 4(0) + 1 \)

\( 77 = 4(19) + 1 \)

Значения \( k \) будут от 0 до 19 включительно. Это \( 19 - 0 + 1 = 20 \) значений.

Каждому такому \( b \) соответствует натуральное \( a \).

Проверим, что \( a \) действительно натуральное для \( b=1 \):

\( a = \frac{405 - 5(1)}{4} = \frac{400}{4} = 100 \).

Проверим, что \( a \) действительно натуральное для \( b=77 \):

\( a = \frac{405 - 5(77)}{4} = \frac{405 - 385}{4} = \frac{20}{4} = 5 \).

Таким образом, существует 20 пар натуральных чисел \( a \) и \( b \).

Ответ: Пример: 97513. А) 346. В) 20.