Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 21. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В…Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Обозначения:
    • Пусть S — расстояние от А до В.
    • Пусть v — скорость течения реки.
    • Скорость катера в стоячей воде = 4v.
    • Скорость катера по течению = 4v + v = 5v.
    • Скорость катера против течения = 4v - v = 3v.
    • Скорость плота = v.
  2. Время до встречи:
  3. Пусть t₁ — время от отправления до встречи катера и плота.
  4. Плот прошел расстояние v*t₁.
  5. Катер прошел расстояние (4v + v)*t₁ = 5v*t₁.
  6. Суммарное расстояние, которое они прошли до встречи, равно S:
  7. \[ v \cdot t_1 + 5v \cdot t_1 = S \]
  8. \[ 6v \cdot t_1 = S \]
  9. \[ t_1 = \frac{S}{6v} \]
  10. Время после встречи:
  11. Пусть t₂ — время от встречи до возвращения катера в пункт В.
  12. После встречи плот продолжает двигаться со скоростью v.
  13. Катер, встретив плот, поворачивает назад (к пункту А) со скоростью 3v.
  14. Расстояние от места встречи до пункта В равно S - v*t₁.
  15. Время, за которое катер доберется от места встречи до пункта В, равно:
  16. \[ t_2 = \frac{S - v \cdot t_1}{3v} \]
  17. Подставим значение t₁:
  18. \[ t_2 = \frac{S - v \cdot \frac{S}{6v}}{3v} = \frac{S - \frac{S}{6}}{3v} = \frac{\frac{5S}{6}}{3v} = \frac{5S}{18v} \]
  19. Общее время движения катера:
  20. T_катера = t₁ + t₂ = \( \frac{S}{6v} + \frac{5S}{18v} \) = \( \frac{3S + 5S}{18v} \) = \( \frac{8S}{18v} \) = \( \frac{4S}{9v} \)
  21. Время возвращения катера в пункт В:
  22. Пусть T_возвращения — время от начала движения, когда катер возвращается в пункт В.
  23. Катер прошел расстояние от В до места встречи (5v*t₁) и затем от места встречи до В (3v*t₂).
  24. \[ 5v \cdot t_1 + 3v \cdot t_2 = S \]
  25. \[ 5v \cdot \frac{S}{6v} + 3v \cdot \frac{5S}{18v} = S \]
  26. \[ \frac{5S}{6} + \frac{15S}{18} = S \]
  27. \[ \frac{5S}{6} + \frac{5S}{6} = S \]
  28. \[ \frac{10S}{6} = S \] - это неверно, здесь ошибка в логике.
  29. Правильный подход:
  30. Рассмотрим систему отсчета, связанную с водой.
  31. Скорость катера относительно воды = 4v.
  32. Скорость плота относительно воды = 0 (т.к. он движется вместе с течением).
  33. Скорость течения = v.
  34. Пусть катер вышел из В в момент t=0. Плот вышел из А в момент t=0.
  35. Пусть встреча произошла в момент t₁.
  36. Положение катера относительно А: S_катер(t) = S - (4v - v) * t = S - 3vt (движется против течения).
  37. Положение плота относительно А: S_плот(t) = v*t (движется по течению).
  38. В момент встречи S_катер(t₁) = S_плот(t₁):
  39. \[ S - 3vt_1 = vt_1 \]
  40. \[ S = 4vt_1 \]
  41. \[ t_1 = \frac{S}{4v} \]
  42. В момент встречи катер находится на расстоянии S_плот(t₁) = v * (S/4v) = S/4 от пункта А.
  43. После встречи катер повернул обратно к В. Его скорость относительно воды = 4v. Его скорость относительно берега = 4v + v = 5v (по течению).
  44. Расстояние от места встречи до В = S - S/4 = 3S/4.
  45. Время, за которое катер доберется из места встречи до В:
  46. \[ t_2 = \frac{3S/4}{5v} = \frac{3S}{20v} \]
  47. Общее время, когда катер вернулся в В, начиная с момента, когда он вышел из В: T = t₁ + t₂ = \( \frac{S}{4v} + \frac{3S}{20v} \) = \( \frac{5S + 3S}{20v} \) = \( \frac{8S}{20v} \) = \( \frac{2S}{5v} \)
  48. За это время плот прошел расстояние:
  49. \[ S_{плот} = v \cdot T = v \cdot \frac{2S}{5v} = \frac{2S}{5} \]
  50. Таким образом, плот прошел 2/5 пути от А до В.

    51. Ответ: 2/5