21. Катер отправился в путь из пункта А в 12 : 00 и по течению реки до пункта В прошёл 80 км. Повернув обратно, он прошёл ещё 99 км и завершил путешествие в пункте С в 19 : 00. Найди собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Пошаговое решение:

• 1. Определим общее время в пути: 19:00 - 12:00 = 7 часов.
• 2. Обозначим переменные: Пусть $$v$$ — собственная скорость катера (км/ч). Скорость течения реки $$u = 5$$ км/ч.
• 3. Определим скорости движения: Скорость по течению: $$v + u = v + 5$$ (км/ч). Скорость против течения: $$v - u = v - 5$$ (км/ч).
• 4. Составим уравнения движения: Время движения по течению до пункта В: $$t_1 = \frac{80}{v+5}$$. Время движения обратно до пункта С: $$t_2 = \frac{99}{v-5}$$.
• 5. Составим и решим уравнение: Общее время в пути: $$t_1 + t_2 = 7$$ часов. $$ \frac{80}{v+5} + \frac{99}{v-5} = 7 $$ Умножим обе части уравнения на $$(v+5)(v-5)$$: $$ 80(v-5) + 99(v+5) = 7(v+5)(v-5) $$ $$ 80v - 400 + 99v + 495 = 7(v^2 - 25) $$ $$ 179v + 95 = 7v^2 - 175 $$ $$ 7v^2 - 179v - 175 - 95 = 0 $$ $$ 7v^2 - 179v - 270 = 0 $$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-179)^2 - 4(7)(-270) = 32041 + 7560 = 39601$$. $$ \sqrt{D} = \sqrt{39601} = 199 $$. $$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{179 + 199}{2 \cdot 7} = \frac{378}{14} = 27$$. $$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{179 - 199}{2 \cdot 7} = \frac{-20}{14} = -\frac{10}{7}$$. Так как скорость не может быть отрицательной, $$v = 27$$ км/ч.

Ответ: 27 км/ч