21. Катер прошёл от пункта А до пункта В, расстояние между которыми составляет 72 км, пробыл в пункте В 30 минут и вернулся обратно в пункт А через 7,5 часов после отплытия из пункта А. Какова скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 21 км/ч?

Краткая запись:

• Расстояние (S): 72 км
• Время пребывания в пункте В: 30 минут = 0,5 часа
• Общее время в пути (t_общ): 7,5 часов
• Собственная скорость катера (v_к): 21 км/ч
• Найти: Скорость течения реки (v_т) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вычисляем время, потраченное непосредственно на движение. Общее время в пути (7,5 часов) минус время в пункте В (0,5 часа).
   \( t_{движения} = 7,5 - 0,5 = 7 \) часов.
2. Шаг 2: Обозначаем неизвестные. Пусть \( v_т \) — скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению будет \( v_{к ext{ по}} = 21 + v_т \) км/ч, а скорость против течения — \( v_{к ext{ против}} = 21 - v_т \) км/ч.
3. Шаг 3: Выражаем время движения туда и обратно через расстояние и скорость. Время движения туда \( t_{ ext{туда}} = \frac{S}{v_{к ext{ по}}} = \frac{72}{21 + v_т} \) часов. Время движения обратно \( t_{ ext{обратно}} = \frac{S}{v_{к ext{ против}}} = \frac{72}{21 - v_т} \) часов.
4. Шаг 4: Составляем уравнение, так как общее время движения равно 7 часам: \( t_{ ext{туда}} + t_{ ext{обратно}} = t_{движения} \).
   \( \frac{72}{21 + v_т} + \frac{72}{21 - v_т} = 7 \)
5. Шаг 5: Решаем уравнение.
   Умножаем обе части на \( (21 + v_т)(21 - v_т) \), чтобы избавиться от знаменателей:
   \( 72(21 - v_т) + 72(21 + v_т) = 7(21^2 - v_т^2) \)
   \( 1512 - 72v_т + 1512 + 72v_т = 7(441 - v_т^2) \)
   \( 3024 = 3087 - 7v_т^2 \)
   \( 7v_т^2 = 3087 - 3024 \)
   \( 7v_т^2 = 63 \)
   \( v_т^2 = 9 \)
   \( v_т = 3 \) (так как скорость не может быть отрицательной).

Ответ: 3 км/ч