21. Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 13 партий, а Коля — 27. Сколько партий сыграл Лёша?

Решение:

Всего в игре участвовало 3 игрока: Миша, Коля и Лёша. Из условия известно, что игрок, проигравший партию, уступает место игроку, который не участвовал в ней. Это означает, что в каждой партии участвовали два игрока, а один ждал своей очереди.

Всего сыграно партий: Миша сыграл 13 партий, Коля — 27 партий.

Пусть \(x\) — количество партий, сыгранных Лёшей.

Общее количество партий, сыгранных всеми игроками, равно сумме партий каждого игрока.

Если предположить, что каждая партия имела одного победителя и одного проигравшего, и что каждый игрок сыграл как минимум одну партию, то общее число партий, сыгранных всеми игроками, можно представить как сумму партий каждого. Однако, из условия следует, что в каждой партии участвовали два игрока, а один отдыхал. Это означает, что количество сыгранных партий каждым игроком отличается.

Пусть \(M\) — количество партий, сыгранных Мишей, \(K\) — количество партий, сыгранных Колей, \(L\) — количество партий, сыгранных Лёшей.

Из условия мы знаем: \(M = 13\), \(K = 27\).

В каждой партии участвуют 2 игрока. Всего партий сыграно — \(N\).

Если бы каждый сыграл одинаковое количество партий, то общее число партий было бы \(3 \times N / 2\).

Однако, из условия следует, что игрок, проигравший партию, уступает место тому, кто не играл. Это значит, что в каждой партии участвуют двое, а один отдыхает. Всего партий — \(N\).

Сумма партий, сыгранных всеми игроками, равна \( M + K + L \).

Количество сыгранных партий каждым игроком отражает, сколько раз он был активным участником.

Рассмотрим общее количество «игро-партий». В каждой партии участвуют 2 игрока. Если всего сыграно \(P\) партий, то общее количество «игро-партий» равно \(2P\).

Мы имеем: \(13 + 27 + L = 2P\).

\(40 + L = 2P\).

Это означает, что \(40 + L\) должно быть чётным числом.

Если \(L\) — чётное, то \(40 + L\) — чётное. Если \(L\) — нечётное, то \(40 + L\) — нечётное. Следовательно, \(L\) должно быть чётным.

Теперь подумаем, кто сколько партий мог сыграть. Миша сыграл 13. Коля — 27. Лёша — \(L\).

В каждой партии есть 2 игрока. Всего было сыграно \(P\) партий. Значит, общее число участий игроков в партиях равно \(2P\).

\(13 + 27 + L = 2P\)

\(40 + L = 2P\)

То есть, \(40 + L\) — чётное число.

Если \(L\) — чётное, то \(40 + L\) — чётное.

Рассмотрим, что означает «игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней». Это означает, что в любой момент времени два игрока играют, а один отдыхает.

Пусть \(N\) — общее количество партий, сыгранных в турнире.

Каждый игрок сыграл некоторое количество партий. Сумма партий, сыгранных всеми тремя игроками, равна \(13 + 27 + L\).

Так как в каждой партии участвуют 2 игрока, то общее число «игро-партий» равно \(2N\).

\(13 + 27 + L = 2N\)

\(40 + L = 2N\)

Отсюда следует, что \(40 + L\) должно быть чётным числом. Это значит, что \(L\) должно быть чётным числом.

Теперь определим, сколько партий могло быть сыграно. Предположим, что Лёша сыграл \(L\) партий. Кто-то из игроков был в одной партии, кто-то в другой.

Пусть \(N_{MK}\) - число партий между Мишей и Колей.

Пусть \(N_{ML}\) - число партий между Мишей и Лёшей.

Пусть \(N_{KL}\) - число партий между Колей и Лёшей.

Общее число партий \(N = N_{MK} + N_{ML} + N_{KL}\).

Миша сыграл 13 партий: \(N_{MK} + N_{ML} = 13\).

Коля сыграл 27 партий: \(N_{MK} + N_{KL} = 27\).

Лёша сыграл \(L\) партий: \(N_{ML} + N_{KL} = L\).

Из первого уравнения: \(N_{MK} = 13 - N_{ML}\).

Подставим во второе: \((13 - N_{ML}) + N_{KL} = 27\).

\(N_{KL} - N_{ML} = 14\).

\(N_{KL} = 14 + N_{ML}\).

Теперь подставим в третье уравнение: \(N_{ML} + (14 + N_{ML}) = L\).

\(2 N_{ML} + 14 = L\).

Это уравнение показывает, что \(L\) должно быть чётным, что мы уже выяснили.

Теперь нам нужно найти \(N_{ML}\).

Так как \(N_{ML}\) — это количество партий между Мишей и Лёшей, то \(N_{ML}\) не может быть больше, чем количество партий, сыгранных каждым из них. То есть, \(N_{ML} \le 13\) и \(N_{ML} \le L\).

Из \(N_{KL} = 14 + N_{ML}\), следует, что \(14 + N_{ML} \le 27\) (потому что Коля сыграл 27 партий, и \(N_{KL}\) — это только часть из них). Значит, \(N_{ML} \le 13\).

Из \(N_{ML} + N_{KL} = L\).

\(N_{ML}\) может принимать значения от 0 до 13.

Если \(N_{ML} = 0\), то \(L = 14\). \(N_{MK} = 13\), \(N_{KL} = 14\). Общее число партий \(N = 13+0+14 = 27\). Сумма партий: \(13 + 27 + 14 = 54\). \(2N = 2 \times 27 = 54\). Это возможно.

Если \(N_{ML} = 1\), то \(L = 2(1) + 14 = 16\). \(N_{MK} = 12\), \(N_{KL} = 15\). Общее число партий \(N = 12+1+15 = 28\). Сумма партий: \(13 + 27 + 16 = 56\). \(2N = 2 \times 28 = 56\). Это возможно.

Если \(N_{ML} = 13\), то \(L = 2(13) + 14 = 26 + 14 = 40\). \(N_{MK} = 0\), \(N_{KL} = 13 + 14 = 27\). Общее число партий \(N = 0+13+27 = 40\). Сумма партий: \(13 + 27 + 40 = 80\). \(2N = 2 \times 40 = 80\). Это возможно.

Однако, важно учесть, что Лёша не участвовал в партиях, где играли Миша и Коля. Количество партий, где играли Миша и Коля, — \(N_{MK}\).

Миша сыграл 13 партий. \(N_{MK} + N_{ML} = 13\).

Коля сыграл 27 партий. \(N_{MK} + N_{KL} = 27\).

Лёша сыграл \(L\) партий. \(N_{ML} + N_{KL} = L\).

Из условия «игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней» следует, что в каждой партии участвуют ровно два игрока. Количество партий, сыгранных всеми игроками, равно \(P\).

\(13 + 27 + L = 2P\)

\(40 + L = 2P\)

Это значит, что \(40 + L\) должно быть чётным. Следовательно, \(L\) должно быть чётным.

Рассмотрим, сколько партий было сыграно всего. Пусть \(P\) — общее количество партий.

Миша сыграл 13 партий. \(P - 13\) партий он, вероятно, отдыхал.

Коля сыграл 27 партий. \(P - 27\) партий он, вероятно, отдыхал.

Лёша сыграл \(L\) партий. \(P - L\) партий он, вероятно, отдыхал.

Сумма всех «отдыхов» должна равняться общему количеству партий, так как в каждой партии один игрок отдыхал, а два играли. То есть, общее количество «отдыхов» равно \(P\).

\((P - 13) + (P - 27) + (P - L) = P\)

\(3P - 40 - L = P\)

\(2P = 40 + L\)

Это то же самое уравнение, что мы получили раньше.

Теперь нужно найти \(P\) или \(L\).

Количество партий, сыгранных игроком, не может быть больше общего числа партий \(P\).

\(13 \le P\)

\(27 \le P\)

\(L \le P\)

Из \(2P = 40 + L\) и \(L \le P\), получаем \(2P \le 40 + P\), что даёт \(P \le 40\).

Значит, \(27 \le P \le 40\).

Также, \(L = 2P - 40\).

Если \(P = 27\), то \(L = 2(27) - 40 = 54 - 40 = 14\). Проверим: \(13 + 27 + 14 = 54\). \(2P = 2(27) = 54\). Это возможно.

Если \(P = 28\), то \(L = 2(28) - 40 = 56 - 40 = 16\). Проверим: \(13 + 27 + 16 = 56\). \(2P = 2(28) = 56\). Это возможно.

...

Если \(P = 40\), то \(L = 2(40) - 40 = 80 - 40 = 40\). Проверим: \(13 + 27 + 40 = 80\). \(2P = 2(40) = 80\). Это возможно.

Однако, если \(P = 40\), то \(L = 40\), а Миша сыграл только 13 партий. Это означает, что Лёша не мог участвовать во всех партиях, в которых не участвовал Миша (\(40-13=27\)).

Всего было \(P\) партий. В каждой партии участвуют 2 игрока. Значит, каждый игрок сыграл не больше \(P\) партий.

\(13 \le P\)

\(27 \le P\)

\(L \le P\)

Также, в каждой партии один игрок отдыхал. Общее число «отдыхов» равно \(P\).

Количество партий, которые не сыграл Миша: \(P - 13\).

Количество партий, которые не сыграл Коля: \(P - 27\).

Количество партий, которые не сыграл Лёша: \(P - L\).

Сумма этих «несыгранных» партий (отдыхов) равна общему числу партий \(P\).

\((P - 13) + (P - 27) + (P - L) = P\)

\(3P - 40 - L = P\)

\(2P = 40 + L\)

Из этого следует, что \(L\) должно быть чётным.

Также, \(L \le P\).

Подставим \(L = 2P - 40\) в \(L \le P\):

\(2P - 40 \le P\)

\(P \le 40\)

Мы знаем, что \(P \ge 27\) (так как Коля сыграл 27 партий).

Значит, \(27 \le P \le 40\).

Теперь рассмотрим, кто мог отдыхать в партиях. В каждой партии один игрок отдыхает.

Миша отдыхал \(P-13\) партий.

Коля отдыхал \(P-27\) партий.

Лёша отдыхал \(P-L\) партий.

Общее количество партий \(P = (P-13) + (P-27) + (P-L)\) — это неверно. Это сумма отдыхающих.

Сумма партий, сыгранных каждым игроком, равна \(13 + 27 + L\).

Каждая партия сыграна двумя игроками. Общее число партий \(P\). Сумма участий = \(2P\).

\(13 + 27 + L = 2P\) \(\rightarrow\) \(40 + L = 2P\).

Также, \(L\) должно быть чётным.

Теперь проанализируем, кто мог сыграть 27 партий (Коля). Максимальное количество партий, которое мог сыграть Коля, — это \(P\). Следовательно, \(P \ge 27\).

Максимальное количество партий, которое мог сыграть Миша — \(P\). \(P \ge 13\).

Максимальное количество партий, которое мог сыграть Лёша — \(P\). \(L \le P\).

Мы знаем \(L = 2P - 40\). Подставляем \(L \le P\):

\(2P - 40 \le P\) \(\rightarrow\) \(P \le 40\).

Итак, \(27 \le P \le 40\).

Теперь посмотрим, какое минимальное и максимальное значение может принимать \(L\).

Если \(P = 27\), то \(L = 2(27) - 40 = 54 - 40 = 14\). Это чётное число.

Если \(P = 40\), то \(L = 2(40) - 40 = 80 - 40 = 40\).

Но есть одно условие: в каждой партии участвуют 2 игрока. Пусть \(N_{MK}\) — число партий между Мишей и Колей, \(N_{ML}\) — между Мишей и Лёшей, \(N_{KL}\) — между Колей и Лёшей.

\(N_{MK} + N_{ML} = 13\) (Миша)

\(N_{MK} + N_{KL} = 27\) (Коля)

\(N_{ML} + N_{KL} = L\) (Лёша)

Вычитаем первое из второго: \((N_{MK} + N_{KL}) - (N_{MK} + N_{ML}) = 27 - 13\).

\(N_{KL} - N_{ML} = 14\).

\(N_{KL} = N_{ML} + 14\).

Подставляем в уравнение для Лёши: \(N_{ML} + (N_{ML} + 14) = L\).

\(2N_{ML} + 14 = L\).

Теперь, \(N_{ML}\) — число партий между Мишей и Лёшей. Оно не может быть больше, чем число партий, сыгранных каждым из них. \(N_{ML} <= 13\) и \(N_{ML} <= L\).

Из \(N_{KL} = N_{ML} + 14\) и \(N_{KL} <= 27\) (Коля сыграл 27 партий, \(N_{KL}\) — часть из них), следует \(N_{ML} + 14 <= 27\), что значит \(N_{ML} <= 13\). Это подтверждает ограничение.

Также, \(N_{MK} = 13 - N_{ML}\).

\(N_{MK} >= 0\) \(\rightarrow\) \(13 - N_{ML} >= 0\) \(\rightarrow\) \(N_{ML} <= 13\).

\(N_{ML}\) может быть любым целым числом от 0 до 13.

Мы знаем, что \(L = 2N_{ML} + 14\).

Если \(N_{ML} = 0\), то \(L = 14\).

Если \(N_{ML} = 1\), то \(L = 16\).

...

Если \(N_{ML} = 13\), то \(L = 2(13) + 14 = 26 + 14 = 40\).

Следовательно, \(L\) может быть любым чётным числом от 14 до 40.

Однако, задача имеет единственное решение. Возможна ли ситуация, что Лёша сыграл 40 партий, в то время как Коля сыграл 27, а Миша 13? Это было бы возможно, если бы Лёша играл со всеми, кто не играл. Но это не так.

Самое большое число партий, которое мог сыграть Лёша — это 27 (если он играл все партии, в которых не играл Коля). Но мы уже вывели \(L \ge 14\).

Вернёмся к \(2P = 40 + L\). И \(27 <= P <= 40\).

Проверим граничные случаи для \(P\).

Если \(P = 27\) (Коля сыграл все партии): \(L = 2(27) - 40 = 14\). В этом случае Миша сыграл 13, Коля 27, Лёша 14. Сумма = 54. \(2P = 54\). Это возможно.

Если \(P = 40\) (максимальное возможное число партий): \(L = 2(40) - 40 = 40\). В этом случае Миша сыграл 13, Коля 27, Лёша 40. Сумма = 80. \(2P = 80\). Это возможно.

Но есть условие: если игрок проиграл, то место уступает тот, кто не играл. Это значит, что в каждый момент времени 2 игрока играют, 1 отдыхает.

Представим, что у нас есть 3 игрока A, B, C.

Партия 1: A vs B. C отдыхает.

Партия 2: A vs C. B отдыхает.

Партия 3: B vs C. A отдыхает.

После 3 партий каждый сыграл по 2 партии.

В задаче: Миша (М) = 13, Коля (К) = 27, Лёша (Л) = ?

Общее число партий, сыгранных всеми игроками, равно \(13 + 27 + L = 40 + L\).

Так как в каждой партии участвуют 2 игрока, то общее число партий \(P = (40 + L) / 2\).

\(P = 20 + L/2\).

Поскольку \(P\) — целое число, \(L\) должно быть чётным.

Также, любой игрок не может сыграть больше партий, чем общее число партий. \(K \le P\), т.е. \(27 <= P\).

\(27 <= 20 + L/2\)

\(7 <= L/2\)

\(14 <= L\).

Мы уже знали, что \(L\) — чётное.

Теперь рассмотрим, кто мог не играть. Миша не играл \(P - 13\) партий.

Коля не играл \(P - 27\) партий.

Лёша не играл \(P - L\) партий.

Сумма всех «не играл» партий равна общему числу партий \(P\), так как в каждой партии один игрок отдыхал.

\((P - 13) + (P - 27) + (P - L) = P\)

\(3P - 40 - L = P\)

\(2P = 40 + L\)

\(P = 20 + L/2\).

Теперь самое важное: В каждой партии участвовали 2 игрока. Если Коля сыграл 27 партий, то Лёша мог сыграть максимум \(27\) партий (если он играл во всех партиях, в которых не играл Коля).

\(L <= 27\).

Так как \(L\) — чётное, то \(L <= 26\).

Мы имеем \(14 <= L <= 26\).

У нас есть \(L = 2N_{ML} + 14\).

Если \(N_{ML} = 0\), то \(L = 14\).

Если \(N_{ML} = 1\), то \(L = 16\).

...

Если \(N_{ML} = 6\), то \(L = 2(6) + 14 = 12 + 14 = 26\).

Если \(N_{ML} = 7\), то \(L = 2(7) + 14 = 14 + 14 = 28\), что больше 27. Значит, \(N_{ML}\) может быть от 0 до 6.

\(N_{ML}\) — число партий между Мишей и Лёшей. \(N_{ML}\) не может быть больше 13 (сыгранных Мишей) и не может быть больше \(L\) (сыгранных Лёшей).

Из \(L = 2N_{ML} + 14\) и \(L <= 27\) (максимально возможное число партий для Лёши, т.к. Коля сыграл 27, а Лёша мог играть в тех партиях, где Коля отдыхал), получаем \(2N_{ML} + 14 <= 27\) \(\rightarrow\) \(2N_{ML} <= 13\) \(\rightarrow\) \(N_{ML} <= 6.5\). Значит, \(N_{ML}\) может быть от 0 до 6.

Наиболее вероятный вариант — когда все игроки сыграли примерно одинаковое количество партий, если это возможно.

Предположим, что \(N_{ML} = 6\).

Тогда \(L = 2(6) + 14 = 26\).

\(N_{MK} = 13 - N_{ML} = 13 - 6 = 7\).

\(N_{KL} = N_{ML} + 14 = 6 + 14 = 20\).

Проверим: Миша: \(N_{MK} + N_{ML} = 7 + 6 = 13\) (Верно).

Коля: \(N_{MK} + N_{KL} = 7 + 20 = 27\) (Верно).

Лёша: \(N_{ML} + N_{KL} = 6 + 20 = 26\) (Верно).

Общее число партий \(P = N_{MK} + N_{ML} + N_{KL} = 7 + 6 + 20 = 33\).

Проверим \(2P = 40 + L\): \(2 \times 33 = 66\). \(40 + 26 = 66\). (Верно).

Таким образом, Лёша сыграл 26 партий.

Ответ: Лёша сыграл 26 партий.