21. Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Краткое пояснение:

Дано:

• Расстояние (S) = 36 км (в одну сторону)
• Общее время (t) = 5 часов
• Скорость течения (v_теч) = 3 км/ч

Найти:

• Скорость лодки в неподвижной воде (v_лодки) — ?

Решение:

1. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как x км/ч.
2. Скорость лодки по течению: (x + 3) км/ч.
3. Время движения по течению: \( t_1 = \frac{36}{x + 3} \) часов.
4. Скорость лодки против течения: (x - 3) км/ч.
5. Время движения против течения: \( t_2 = \frac{36}{x - 3} \) часов.
6. Общее время равно сумме времен движения по течению и против течения: \( t_1 + t_2 = 5 \) часов.
7. Составляем уравнение: \( \frac{36}{x + 3} + \frac{36}{x - 3} = 5 \).
8. Приведем дроби к общему знаменателю \( (x + 3)(x - 3) = x^2 - 9 \):
   \( \frac{36(x - 3) + 36(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 5 \)
   \( \frac{36x - 108 + 36x + 108}{x^2 - 9} = 5 \)
   \( \frac{72x}{x^2 - 9} = 5 \)
9. Решаем полученное квадратное уравнение:
   \( 72x = 5(x^2 - 9) \)
   \( 72x = 5x^2 - 45 \)
   \( 5x^2 - 72x - 45 = 0 \)
10. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 \).
11. Найдем корни уравнения:
    \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 + \sqrt{6084}}{2 \cdot 5} = \frac{72 + 78}{10} = \frac{150}{10} = 15 \)
    \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 - 78}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6 \)
12. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 15 км/ч