21. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 70 км, между А и В — 55 км, между В и Г — 45 км, между Г и А — 40 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

Question

Вопрос:

Фото задания

21. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 70 км, между А и В — 55 км, между В и Г — 45 км, между Г и А — 40 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

Accepted Answer

Решение:

Обозначим точки на кольцевой дороге и расстояния между ними. Всего на кольцевой дороге 4 бензоколонки: А, Б, В, Г.

Даны следующие расстояния по кратчайшей дуге:

\( d(A, Б) = 70 \text{ км} \)
\( d(A, В) = 55 \text{ км} \)
\( d(В, Г) = 45 \text{ км} \)
\( d(Г, А) = 40 \text{ км} \)

Сумма всех расстояний по кольцу равна общей длине кольца. Изменим данные, чтобы они соответствовали кольцевой дороге, предполагая, что порядок точек вдоль дороги таков: А, Г, В, Б. Проверим, складывается ли сумма этих расстояний в полную длину кольца.

Попробуем расположить точки в порядке А, Г, В, Б. Тогда:

\( d(А, Г) = 40 \text{ км} \)
\( d(Г, В) = 45 \text{ км} \)
\( d(В, Б) = ? \)
\( d(Б, А) = 70 \text{ км} \)

В этом случае, \( d(А, В) = d(А, Г) + d(Г, В) = 40 + 45 = 85 \text{ км} \). Но по условию \( d(А, В) = 55 \text{ км} \). Значит, порядок точек А, Г, В, Б неверный.

Попробуем расположить точки в порядке А, В, Г, Б. Тогда:

\( d(А, В) = 55 \text{ км} \)
\( d(В, Г) = 45 \text{ км} \)
\( d(Г, Б) = ? \)
\( d(Б, А) = 70 \text{ км} \)

В этом случае, \( d(А, Б) \) может быть как \( d(А, В) + d(В, Г) + d(Г, Б) \) (длинный путь), так и кратчайшим путем.

Рассмотрим возможные варианты расположения точек и соответствующие расстояния:

Вариант 1: Порядок точек А, В, Г, Б.

\( d(А, В) = 55 \text{ км} \)
\( d(В, Г) = 45 \text{ км} \)
\( d(Г, А) = 40 \text{ км} \)
\( d(A, Б) = 70 \text{ км} \)

Сумма расстояний \( d(А, В) + d(В, Г) + d(Г, А) = 55 + 45 + 40 = 140 \text{ км} \). Это полная длина кольца.

Теперь найдем \( d(В, Б) \). Используя данные из этого варианта:

Кратчайшее расстояние от А до Б равно 70 км.
Из А через В и Г к Б: \( d(А, В) + d(В, Г) + d(Г, Б) \).
Длина кольца = 140 км.
\( d(В, Б) \) = ?

Рассмотрим путь из А в Б. По условию, \( d(А, Б) = 70 \text{ км} \). Этот путь может проходить через другие точки. В общем случае, на кольцевой дороге есть два пути между двумя точками. Если одно расстояние \( d_1 \) меньше половины длины кольца, то оно кратчайшее, если больше — то кратчайшее — \( L - d_1 \), где \( L \) — длина кольца.

Длина кольца = \( d(А, Г) + d(Г, В) + d(В, А) \). Мы не знаем \( d(A, Г) \) и \( d(Г, В) \) как кратчайшие пути. Мы знаем \( d(В, Г) = 45 \text{ км} \) и \( d(Г, А) = 40 \text{ км} \). Это значит, что путь от В до А через Г равен \( 45 + 40 = 85 \text{ км} \). Но кратчайший путь \( d(А, В) = 55 \text{ км} \). Значит, кратчайший путь от А до В не проходит через Г.

Итак, порядок точек А, Г, В неверный, так как \( d(А, В) < d(А, Г) + d(Г, В) \).

Рассмотрим другой порядок точек. Пусть порядок точек на кольце такой: А, В, Г, Б. Тогда:

\( d(А, В) = 55 \text{ км} \)
\( d(В, Г) = 45 \text{ км} \)
\( d(Г, А) = 40 \text{ км} \)

Из этого следует, что \( d(А, Г) \) (кратчайший путь) = \( d(А, В) + d(В, Г) = 55 + 45 = 100 \text{ км} \). Но \( d(Г, А) = 40 \text{ км} \) — это кратчайший путь. Значит, этот порядок тоже неверный, потому что 100 > 40.

Порядок точек А, Г, В, Б:

\( d(А, Г) = 40 \text{ км} \)
\( d(Г, В) = 45 \text{ км} \)
\( d(В, Б) = ? \)
\( d(Б, А) = 70 \text{ км} \)

Из этого следует, что \( d(А, В) \) (кратчайший путь) = \( d(А, Г) + d(Г, В) = 40 + 45 = 85 \text{ км} \). Но \( d(А, В) = 55 \text{ км} \). Этот порядок тоже неверный.

Попробуем порядок точек А, Б, Г, В:

\( d(А, Б) = 70 \text{ км} \)
\( d(Б, Г) = ? \)
\( d(Г, В) = 45 \text{ км} \)
\( d(В, А) = 55 \text{ км} \)

Путь от А до В через Б и Г: \( d(А, Б) + d(Б, Г) + d(Г, В) = 70 + d(Б, Г) + 45 = 115 + d(Б, Г) \). Этот путь больше 55 км.

Длина кольца = \( d(А, Б) + d(Б, Г) + d(Г, В) + d(В, А) = 70 + d(Б, Г) + 45 + 55 = 170 + d(Б, Г) \). В данном случае, \( d(Б, Г) \) — это кратчайший путь.

Давайте использовать то, что сумма расстояний в обе стороны между любыми двумя точками равна полной длине кольца. Обозначим длину кольца как L.

Из условия \( d(A, Б) = 70 \text{ км} \), \( d(A, В) = 55 \text{ км} \), \( d(В, Г) = 45 \text{ км} \), \( d(Г, А) = 40 \text{ км} \).

Рассмотрим пути, которые идут через другие точки:

Путь А → В → Г: \( d(А, В) + d(В, Г) = 55 + 45 = 100 \text{ км} \). Это не кратчайшее расстояние между А и Г, потому что \( d(А, Г) = 40 \text{ км} \). Это значит, что точка В находится между А и Г на более длинном участке пути, или наоборот.
Если \( d(А, Г) = 40 \text{ км} \) — кратчайшее расстояние, то путь через В должен быть длиннее. \( d(А, В) + d(В, Г) = 55 + 45 = 100 \text{ км} \). Это значит, что точки расположены в порядке А, Г, В.
Теперь рассмотрим \( d(А, Б) = 70 \text{ км} \).

Пусть точки расположены в следующем порядке: А, Г, В, Б.

\( d(А, Г) = 40 \text{ км} \)
\( d(Г, В) = 45 \text{ км} \)
\( d(В, Б) = ? \)
\( d(Б, А) = 70 \text{ км} \)

Сумма первых трех расстояний: \( 40 + 45 + d(В, Б) \). Это расстояние от А до Б через Г и В.

Полная длина кольца = \( d(А, Г) + d(Г, В) + d(В, Б) + d(Б, А) = 40 + 45 + d(В, Б) + 70 = 155 + d(В, Б) \).

Кратчайшее расстояние между А и Б равно 70 км. Это означает, что \( d(В, Б) \) (путь от В до Б по кольцу, не проходящий через А) должно быть таким, чтобы \( d(А, В) + d(В, Б) \) или \( d(А, Г) + d(Г, Б) \) давало 70 км или составляло меньшую часть полного круга.

Из \( d(А, В) = 55 \text{ км} \) и \( d(В, Г) = 45 \text{ км} \) и \( d(Г, А) = 40 \text{ км} \) следует, что порядок точек А, Г, В невозможен, так как \( d(А, Г) + d(Г, В) = 40 + 45 = 85 \) км, что больше \( d(А, В) = 55 \text{ км} \).

Попробуем порядок: А, В, Г. Тогда \( d(А, В) = 55 \text{ км} \), \( d(В, Г) = 45 \text{ км} \). Значит, \( d(А, Г) = 55 + 45 = 100 \text{ км} \) (если Г находится дальше от А, чем В). Но \( d(Г, А) = 40 \text{ км} \) — кратчайшее расстояние. Значит, порядок точек на кольце такой, что А и Г находятся рядом.

Порядок точек: А, Г, ... , В. \( d(А, Г) = 40 \text{ км} \).

Из \( d(А, В) = 55 \text{ км} \) и \( d(Г, А) = 40 \text{ км} \). Если точки расположены А, Г, В, то \( d(А, В) = d(А, Г) + d(Г, В) \) (если Г между А и В) или \( d(А, В) = d(А, Г) - d(В, Г) \) (если В между А и Г).

Так как \( d(А, В) = 55 \) и \( d(Г, А) = 40 \) и \( d(В, Г) = 45 \).

Рассмотрим два варианта расположения точек на кольце:

Вариант 1: Точки расположены в порядке А, Г, В, Б.

\( d(А, Г) = 40 \text{ км} \)
\( d(Г, В) = 45 \text{ км} \)
\( d(В, Б) = x \)
\( d(Б, А) = 70 \text{ км} \)

Тогда \( d(А, В) = d(А, Г) + d(Г, В) = 40 + 45 = 85 \text{ км} \). Но по условию \( d(А, В) = 55 \text{ км} \). Этот вариант не подходит.

Вариант 2: Точки расположены в порядке А, В, Г, Б.

\( d(А, В) = 55 \text{ км} \)
\( d(В, Г) = 45 \text{ км} \)
\( d(Г, Б) = y \)
\( d(Б, А) = 70 \text{ км} \)

Тогда \( d(А, Г) = d(А, В) + d(В, Г) = 55 + 45 = 100 \text{ км} \). Но по условию \( d(Г, А) = 40 \text{ км} \). Это означает, что кратчайший путь между А и Г равен 40 км, и он не проходит через В.

Вариант 3: Точки расположены в порядке А, Г, Б, В.

\( d(А, Г) = 40 \text{ км} \)
\( d(Г, Б) = z \)
\( d(Б, В) = ? \)
\( d(В, А) = 55 \text{ км} \)

Тогда \( d(А, Б) = d(А, Г) + d(Г, Б) = 40 + z = 70 \text{ км} \). Отсюда \( z = 30 \text{ км} \). То есть \( d(Г, Б) = 30 \text{ км} \).

Теперь проверим \( d(В, Г) = 45 \text{ км} \). В этом порядке, \( d(В, Г) = d(В, Б) + d(Б, Г) \) или \( d(В, Г) = d(В, А) + d(А, Г) \) (длинный путь).

Если порядок А, Г, Б, В:

\( d(А, Г) = 40 \text{ км} \)
\( d(Г, Б) = 30 \text{ км} \)
\( d(Б, В) = ? \)
\( d(В, А) = 55 \text{ км} \)

\( d(В, Г) = d(В, Б) + d(Б, Г) \) → \( 45 = d(В, Б) + 30 \) → \( d(В, Б) = 15 \text{ км} \).

Проверим остальные условия:

\( d(А, В) = d(А, Г) + d(Г, Б) + d(Б, В) = 40 + 30 + 15 = 85 \text{ км} \). Но по условию \( d(А, В) = 55 \text{ км} \). Этот порядок не подходит.

Вариант 4: Точки расположены в порядке А, В, Б, Г.

\( d(А, В) = 55 \text{ км} \)
\( d(В, Б) = x \)
\( d(Б, Г) = y \)
\( d(Г, А) = 40 \text{ км} \)

Тогда \( d(А, Б) = d(А, В) + d(В, Б) = 55 + x = 70 \text{ км} \). Отсюда \( x = 15 \text{ км} \). Значит, \( d(В, Б) = 15 \text{ км} \).

Проверим \( d(В, Г) = 45 \text{ км} \). В этом порядке, \( d(В, Г) = d(В, Б) + d(Б, Г) \) → \( 45 = 15 + y \) → \( y = 30 \text{ км} \). Значит, \( d(Б, Г) = 30 \text{ км} \).

Проверим \( d(Г, А) = 40 \text{ км} \). В этом порядке, \( d(Г, А) = d(Г, В) + d(В, А) \) (длинный путь) или \( d(Г, А) = d(Г, Б) + d(Б, А) \) (длинный путь).

Длина кольца = \( d(А, В) + d(В, Б) + d(Б, Г) + d(Г, А) = 55 + 15 + 30 + 40 = 140 \text{ км} \).

Проверим кратчайшие расстояния:

\( d(А, Б) = 70 \text{ км} \). Из А до Б через В: \( 55 + 15 = 70 \text{ км} \). Через Г: \( d(А, Г) = d(А, В) + d(В, Б) + d(Б, Г) = 55 + 15 + 30 = 100 \text{ км} \) (длинный путь). Или \( d(А, Г) = d(А, В) + d(В, Г) = 55 + 45 = 100 \text{ км} \). И через Г до А: \( d(А, Г) = 40 \text{ км} \). Значит, порядок А, В, Б, Г верен.
\( d(А, В) = 55 \text{ км} \). Этот путь кратчайший.
\( d(В, Г) = 45 \text{ км} \). Из В до Г через Б: \( 15 + 30 = 45 \text{ км} \). Кратчайший путь.
\( d(Г, А) = 40 \text{ км} \). Из Г до А через В и Б: \( d(Г, А) = d(Г, В) + d(В, А) \) - это длинный путь. Кратчайший путь от Г до А равен 40 км.

Итак, порядок точек А, В, Б, Г верен.

Нас интересует расстояние между Б и В. Мы нашли, что \( d(В, Б) = 15 \text{ км} \).

Проверим еще раз. Расположим точки на окружности.

Пусть A = 0.
B = 70 (по часовой стрелке).
V = 55.
G = 40 (против часовой стрелки от A, т.е. на позиции -40 или 140-40=100).

Если A=0, V=55, B=70. Расстояние между V и B = |70-55| = 15 км.

Проверим G. Расстояние между G и A = 40. Если G = -40 (или 100), то кратчайшее расстояние от G до A = 40. Расстояние между G и V. Если G=100, V=55, то |100-55|=45. Это соответствует \( d(В, Г) = 45 \text{ км} \).

Таким образом, расположение точек: A=0, V=55, B=70, G=100 (все по часовой стрелке).

\( d(A, B) = 70 \text{ км} \) (0 до 70)
\( d(A, V) = 55 \text{ км} \) (0 до 55)
\( d(V, G) = |100 - 55| = 45 \text{ км} \)
\( d(G, A) = 100 \text{ км} \) (от 100 до 0 по часовой стрелке). Кратчайшее расстояние = 140 - 100 = 40 км.

Все условия выполнены. Расстояние между В и Б: \( d(В, Б) = |70 - 55| = 15 \text{ км} \).

Ответ: расстояние между Б и В равно 15 километрам.