21. Найти длину волны \(\lambda_{\text{max}}\), соответствующую красной границе фотоэффекта для лития. Работа выхода электронов из лития \(A = 2,4 \text{ эВ}\).

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

\[ E = A + E_{\text{кин}} \]

где \(E\) — энергия падающего фотона, \(A\) — работа выхода, \(E_{\text{кин}}\)

— максимальная кинетическая энергия вылетевших электронов.

Красная граница фотоэффекта соответствует случаю, когда кинетическая энергия электронов равна нулю, то есть \(E_{\text{кин}} = 0\). В этом случае энергия фотона равна работе выхода:

\[ E_{\text{границы}} = A \]

Энергия фотона также связана с длиной волны соотношением:

\[ E = \frac{hc}{\lambda} \]

где \(h\) — постоянная Планка, \(c\) — скорость света в вакууме, \(\lambda\)

— длина волны.

Приравнивая эти два выражения для энергии фотона на красной границе, получаем:

\[ \frac{hc}{\lambda_{\text{max}}} = A \]

Отсюда выразим искомую длину волны:

\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{hc}{A} \]

Теперь подставим известные значения:

• \(h = 6,63 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}\) (постоянная Планка)
• \(c = 3 \times 10^8 \text{ м/с}\) (скорость света)
• \(A = 2,4 \text{ эВ}\)

Перед подстановкой необходимо перевести работу выхода из электрон-вольт (эВ) в Джоули (Дж):

\(1 \text{ эВ} = 1,6 \times 10^{-19} \text{ Дж}\)

\(A = 2,4 \text{ эВ} \times 1,6 \times 10^{-19} \text{ Дж/эВ} = 3,84 \times 10^{-19} \text{ Дж}\)

Теперь рассчитаем \(\lambda_{\text{max}}\):

\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{(6,63 \times 10^{-34} \text{ Дж} · \text{с}) \times (3 × 10^8 \text{ м/с})}{3,84 × 10^{-19} \text{ Дж}} \]

\(\lambda_{\text{max}} = \frac{19,89 × 10^{-26}}{3,84 × 10^{-19}} \text{ м}\)

\(\lambda_{\text{max}} \approx 5,18 × 10^{-7} \text{ м}\)

Переведем результат в нанометры (нм):

\(1 \text{ м} = 10^9 \text{ нм}\)

\(\lambda_{\text{max}} \approx 5,18 × 10^{-7} \text{ м} \times 10^9 \text{ нм/м} = 518 \text{ нм}\)

Ответ: Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта для лития, составляет приблизительно 518 нм.