21. Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 105 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба?

Решение:

Обозначим производительность второй трубы как \( x \) литров в минуту. Тогда производительность первой трубы будет \( x - 16 \) литров в минуту.

Время, за которое вторая труба заполнит резервуар объемом 105 литров, равно \( \frac{105}{x} \) минут.

Время, за которое первая труба заполнит резервуар объемом 105 литров, равно \( \frac{105}{x - 16} \) минут.

По условию, вторая труба заполняет резервуар на 4 минуты быстрее первой. Это означает:

\( \frac{105}{x - 16} - \frac{105}{x} = 4 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{105x - 105(x - 16)}{x(x - 16)} = 4 \)

\( \frac{105x - 105x + 1680}{x^2 - 16x} = 4 \)

\( \frac{1680}{x^2 - 16x} = 4 \)

\( 1680 = 4(x^2 - 16x) \)

\( 1680 = 4x^2 - 64x \)

Разделим обе части на 4:

\( 420 = x^2 - 16x \)

\( x^2 - 16x - 420 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 256 + 1680 = 1936 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-(-16) + 44}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 44}{2} = \frac{60}{2} = 30 \)

\( x_2 = \frac{-(-16) - 44}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 44}{2} = \frac{-28}{2} = -14 \)

Так как производительность трубы не может быть отрицательной, то \( x = 30 \) литров в минуту.

Проверим:

Производительность первой трубы: \( 30 - 16 = 14 \) л/мин.

Время второй трубы: \( \frac{105}{30} = 3.5 \) мин.

Время первой трубы: \( \frac{105}{14} = 7.5 \) мин.

Разница во времени: \( 7.5 - 3.5 = 4 \) минуты, что соответствует условию задачи.

Ответ: вторая труба пропускает 30 литров воды в минуту.