21. Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба?

Решение:

Пусть \( x \) л/мин — производительность второй трубы.

Тогда \( x - 16 \) л/мин — производительность первой трубы.

Время заполнения резервуара второй трубой:

\[ t_2 = \frac{105}{x} \text{ мин} \]

Время заполнения резервуара первой трубой:

\[ t_1 = \frac{105}{x-16} \text{ мин} \]

По условию, вторая труба заполняет резервуар на 4 минуты быстрее, чем первая. Это значит, что \( t_1 - t_2 = 4 \).

Составим уравнение:

\[ \frac{105}{x-16} - \frac{105}{x} = 4 \]

Умножим обе части уравнения на \( x(x-16) \), чтобы избавиться от знаменателей (при условии \( x \neq 0 \) и \( x \neq 16 \)):

\[ 105x - 105(x-16) = 4x(x-16) \]\[ 105x - 105x + 105 \cdot 16 = 4x^2 - 64x \]\[ 1680 = 4x^2 - 64x \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ 4x^2 - 64x - 1680 = 0 \]

Разделим уравнение на 4 для упрощения:

\[ x^2 - 16x - 420 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( x \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 256 + 1680 = 1936 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44 \)

Найдем значения \( x \):

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 44}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 44}{2 \cdot 1} = \frac{-28}{2} = -14 \]

Поскольку производительность трубы не может быть отрицательной, \( x = -14 \) не подходит.

Следовательно, производительность второй трубы \( x = 30 \) л/мин.

Проверим: производительность первой трубы = \( 30 - 16 = 14 \) л/мин.

Время второй трубы = \( 105 / 30 = 3.5 \) мин.

Время первой трубы = \( 105 / 14 = 7.5 \) мин.

Разница во времени: \( 7.5 - 3.5 = 4 \) мин. Условие выполнено.

Ответ: 30 л/мин