21. Первая труба пропускает на 9 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 216 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

Решение:

Обозначим скорость первой трубы как \(x\) л/мин.

Тогда скорость второй трубы равна \(x + 9\) л/мин.

Время заполнения резервуара первой трубой: \(t_1 = \frac{216}{x}\) мин.

Время заполнения резервуара второй трубой: \(t_2 = \frac{216}{x + 9}\) мин.

По условию, первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше, чем вторая:

\(t_1 = t_2 + 4\)

\(\frac{216}{x} = \frac{216}{x + 9} + 4\)

Умножим обе части уравнения на \(x(x+9)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(216(x + 9) = 216x + 4x(x + 9)\)

\(216x + 216 \cdot 9 = 216x + 4x^2 + 36x\)

\(216x + 1944 = 216x + 4x^2 + 36x\)

Вычтем \(216x\) из обеих частей:

\(1944 = 4x^2 + 36x\)

Разделим все члены на 4:

\(486 = x^2 + 9x\)

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\(x^2 + 9x - 486 = 0\)

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-486) = 81 + 1944 = 2025\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45\)

Найдём корни:

\(x_1 = \frac{-9 + 45}{2} = \frac{36}{2} = 18\)

\(x_2 = \frac{-9 - 45}{2} = \frac{-54}{2} = -27\)

Так как скорость не может быть отрицательной, отбрасываем отрицательный корень.

Скорость первой трубы \(x = 18\) л/мин.

Проверим:

Скорость второй трубы = \(18 + 9 = 27\) л/мин.

Время первой трубы = \(\frac{216}{18} = 12\) мин.

Время второй трубы = \(\frac{216}{27} = 8\) мин.

Разница во времени = \(12 - 8 = 4\) мин, что соответствует условию задачи.

Ответ: первая труба пропускает 18 литров в минуту.