21. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 34 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 51 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Постройте график.

Решение:

1. Для нахождения средней скорости воспользуемся формулой: \( v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} \).
2. Пусть общая длина пути равна \( S \) км. Тогда первая половина пути равна \( \frac{S}{2} \) км, и вторая половина пути равна \( \frac{S}{2} \) км.
3. Время, затраченное на первую половину пути: \( t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2 \cdot 34} = \frac{S}{68} \) ч.
4. Время, затраченное на вторую половину пути: \( t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2 \cdot 51} = \frac{S}{102} \) ч.
5. Общее время в пути: \( t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{68} + \frac{S}{102} \).
6. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 68 и 102 равен 204.
7. \( t_{общ} = \frac{3S}{204} + \frac{2S}{204} = \frac{5S}{204} \) ч.
8. Средняя скорость: \( v_{ср} = \frac{S}{\frac{5S}{204}} = \frac{S \cdot 204}{5S} = \frac{204}{5} = 40.8 \) км/ч.
9. График зависимости скорости от пройденного пути будет состоять из двух горизонтальных отрезков: первый отрезок от \( x=0 \) до \( x=S/2 \) на уровне \( y=34 \), второй отрезок от \( x=S/2 \) до \( x=S \) на уровне \( y=51 \).

Ответ: Средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути составляет 40.8 км/ч.