21. Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 112 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Дано:

• Общий заказ = 112 деталей.
• Разница в производительности = 9 деталей/час.
• Разница во времени = 4 часа.

Решение:

1. Пусть $$x$$ — производительность второго рабочего (деталей в час).
2. Тогда производительность первого рабочего — $$x+9$$ (деталей в час).
3. Время выполнения заказа вторым рабочим: $$t_2 = \frac{112}{x}$$ (часов).
4. Время выполнения заказа первым рабочим: $$t_1 = \frac{112}{x+9}$$ (часов).
5. По условию, первый рабочий выполняет заказ на 4 часа быстрее, то есть $$t_2 - t_1 = 4$$.
6. Подставим выражения для времени: $$\frac{112}{x} - \frac{112}{x+9} = 4$$.
7. Разделим обе части уравнения на 4: $$\frac{28}{x} - \frac{28}{x+9} = 1$$.
8. Приведем к общему знаменателю: $$\frac{28(x+9) - 28x}{x(x+9)} = 1$$.
9. Раскроем скобки: $$\frac{28x + 252 - 28x}{x^2 + 9x} = 1$$.
10. Упростим: $$\frac{252}{x^2 + 9x} = 1$$.
11. Решим квадратное уравнение: $$x^2 + 9x = 252 → x^2 + 9x - 252 = 0$$.
12. Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4(1)(-252) = 81 + 1008 = 1089$$.
13. Найдем $$x$$: $$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$$.
14. $$x_1 = \frac{-9 + 33}{2} = \frac{24}{2} = 12$$.
15. $$x_2 = \frac{-9 - 33}{2} = \frac{-42}{2} = -21$$.
16. Поскольку производительность не может быть отрицательной, $$x=12$$.

Ответ: 12 деталей в час.