Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Обозначим:
- \( v_л \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч);
- \( v_т \) — скорость течения реки, \( v_т = 3 \) км/ч.
Скорость плота равна скорости течения реки, \( v_п = v_т = 3 \) км/ч.
Расстояние между пристанями А и В равно 108 км.
Плот отправился из А и проплыл 48 км. Время, которое плот был в пути, составит:
\[ t_п = \frac{48 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 16 \text{ ч} \]
Моторная лодка отправилась на 1 час позже плота. Значит, время движения лодки составило:
\[ t_л = t_п - 1 \text{ ч} = 16 \text{ ч} - 1 \text{ ч} = 15 \text{ ч} \]
Путь лодки от А до В и обратно в А составил 108 км + 108 км = 216 км.
Скорость лодки по течению реки:
\[ v_{л+т} = v_л + v_т = v_л + 3 \text{ (км/ч)} \]
Скорость лодки против течения реки:
\[ v_{л-т} = v_л - v_т = v_л - 3 \text{ (км/ч)} \]
Время, которое лодка плыла по течению (из А в В):
\[ t_{AB} = \frac{108}{v_л + 3} \text{ (ч)} \]
Время, которое лодка плыла против течения (из В в А):
\[ t_{BA} = \frac{108}{v_л - 3} \text{ (ч)} \]
Общее время движения лодки равно 15 часам:
\[ t_{AB} + t_{BA} = 15 \]
\[ \frac{108}{v_л + 3} + \frac{108}{v_л - 3} = 15 \]
Умножим обе части уравнения на \( (v_л + 3)(v_л - 3) \):
\[ 108(v_л - 3) + 108(v_л + 3) = 15(v_л + 3)(v_л - 3) \]
\[ 108v_л - 324 + 108v_л + 324 = 15(v_л^2 - 9) \]
\[ 216v_л = 15v_л^2 - 135 \]
Перенесём всё в одну сторону:
\[ 15v_л^2 - 216v_л - 135 = 0 \]
Разделим на 3:
\[ 5v_л^2 - 72v_л - 45 = 0 \]
Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 \]
\[ \sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78 \]
Найдем корни:
\[ v_{л1} = \frac{-(-72) + 78}{2 \cdot 5} = \frac{72 + 78}{10} = \frac{150}{10} = 15 \]
\[ v_{л2} = \frac{-(-72) - 78}{2 \cdot 5} = \frac{72 - 78}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6 \]
Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_л = 15 \) км/ч.
Проверим условие, что скорость лодки больше скорости течения, чтобы она могла плыть против течения: \( 15 \text{ км/ч} > 3 \text{ км/ч} \).
Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде равна 15 км/ч.
