21. Решите уравнение: а) (8x − 1)(2x − 3) − (4x − 1)² = 38; б) ((15x − 1)(1 + 15x))/3 = 2⅔; в) 0,5y³ − 0,5y(y + 1)(y − 3) = 7; г) x⁴ · x² = ((1 + 2x²)(2x² − 1))/4.

а) Раскроем скобки:

\((8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=16x^2-26x+3-(16x^2-8x+1)=2-18x\).

Тогда \(2-18x=38\), откуда \(-18x=36\), поэтому \(x=-2\).

б) Используем формулу разности квадратов и преобразуем смешанное число:

\(\frac{(15x-1)(1+15x)}{3}=\frac{225x^2-1}{3}=\frac{8}{3}\).

Следовательно, \(225x^2-1=8\), \(225x^2=9\), \(x^2=\frac{1}{25}\), поэтому \(x=\pm\frac{1}{5}\).

в) Вынесем \(0{,}5y\) и применим формулу разности квадратов:

\(0{,}5y^3-0{,}5y(y+1)(y-3)=0{,}5y[y^2-(y+1)(y-3)]\).

Так как \((y+1)(y-3)=y^2-2y-3\), выражение в квадратных скобках равно \(2y+3\). Получаем \(0{,}5y(2y+3)=7\), то есть \(y(2y+3)=14\).

\(2y^2+3y-14=0\). Дискриминант: \(D=3^2-4\cdot2\cdot(-14)=121\). Поэтому \(y=\frac{-3\pm11}{4}\), откуда \(y=2\) или \(y=-\frac{7}{2}\).

г) \(x^4\cdot x^2=x^6\), а \((1+2x^2)(2x^2-1)=4x^4-1\). Поэтому

\(x^6=\frac{4x^4-1}{4}\), то есть \(4x^6-4x^4+1=0\).

Положим \(t=x^2\), где \(t\ge0\). Тогда \(4t^3-4t^2+1=0\). У этой функции при \(t\ge0\) минимум достигается при \(t=\frac23\): значение минимума равно \(\frac{11}{27}>0\). Значит, уравнение действительных корней не имеет.

Ответ: а) \(x=-2\); б) \(x=\pm\frac15\); в) \(y=2\) или \(y=-\frac72\); г) действительных корней нет.