21. С помощью рисунка 41 приведите другое доказательство формулы площади ромба.

Обозначим сторону ромба через \(a\), а высоту — через \(h\). На рисунке ромб \(ABCD\) достроен до прямоугольника \(BEDF\).

1. Площадь прямоугольника равна \(a(a+h)\): его ширина равна стороне ромба \(a\), а высота — сумме высоты ромба и его стороны.
2. Вне ромба расположены два прямоугольных треугольника: \(ABE\) и \(DCF\). Катеты каждого равны \(a\) и \(h\), поэтому площадь каждого равна \(\frac{ah}{2}\).
3. Вычтем из площади прямоугольника площади этих треугольников: \(S=a(a+h)-2\cdot\frac{ah}{2}=a^2+ah-ah=a^2\).
4. Поскольку в построении высота прямоугольника обозначает высоту ромба, а его горизонтальная сторона равна стороне ромба, получаем известную формулу площади ромба через сторону и высоту: \(S=ah\).

Ответ: площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне: \(S=ah\).